Задача 5.4.

Виробниче об’єднання складається з трьох філіалів А₁, А₂, А₃, які виготовляють однорідну продукцію в кількості відповідно 1000, 1500 та 1200 од. на місяць. Ця продукція відправляється на два склади D₁, D₂ місткістю відповідно 2500 та 1200 од., а потім — до п’яти споживачів B₁, B₂, …, B₅, попит яких становить відповідно 900, 700, 1000, 500 і 600 од. Вартість перевезення одиниці продукції (в умовних одиницях) від виробника на склад, а потім зі складів — до споживачів наведено в таблицях.

A		Вартість, ум. од., перевезення від виробника на склад
		D1			D2
А1		2			8
А2		3			5
А3		1			4
Завод	Вартість, ум. од., перевезення із складів до споживачів
	В1		В2	В3	В4	В5
D1	1		3	8	5	4
D2	2		4	5	3	1

Крім того, за індивідуальними контрактами можливі також безпосередні поставки продукції з першого філіалу до другого споживача, а також з третього філіалу — до четвертого споживача. Вартість транспортування одиниці продукції за транзитним маршрутом А₁B₂ дорівнює 3 ум. од., а за маршрутом А₃B₄ — 4 ум. од. Перевезення продукції зі складу на склад неприпустиме.

Сформулювати поставлену задачу як транспортну з проміжними пунктами (двоетапну) та визначити її оптимальний план.

Розв’язування. У поставленій задачі кожний склад можна подати як вихідний пункт відправлення продукції і як пункт призначення. Тому вони відіграють роль і постачальника продукції, і її споживача.

Перевезення продукції безпосередньо від філіалів до споживачів (крім випадків, визначених в умові задачі), а також зі складу на склад блокується за допомогою досить великої вартості М.

Побудовану з урахуванням цього транспортну таблицю двоетапної задачі наведено далі.

A, D	D, B							ui
	D1 = 2500	D2 = 1200	В1 = 900	В2 = 700	В3 = = 1000	В4 = 500	В5 = 600
A1 = 1000	– 2 1000	8	M	3 0+	M	M	M	u1 = 0
A2 = 1500	3 300	5 1200	M	M	M	M	M	u2 = 1
A3 = 1200	1 1200	4	M	M	M	4 1	M	u3 = –1
D1 = 2500	0 2 +	M	1 900	3 700–	8 900	5 1	4	u4 = 0
D2 = 1200	M	0 1	2	4	5 100	3 500	1 600	u5 = –3
vj	v1 = 2	v2 = 4	v3 = 1	v4 = 3	v5 = 8	v6 = 6	v7 = 4

Тому Z₁ = 2  1000 + 3  300 + 5  1200 + 1  1200 + 1  900 + + 3  700 + 8  900 + 5  100 + 3  500 + 1  600 = 22 900 ум. од.

Зауважимо, що в клітинках D₁D₁ і D₂D₂ розміщується нульова вартість перевезення продукції. Це допускає можливість неповного використання складських приміщень у зв’язку з можливим транзитним транспортуванням продукції.

Поставлена транспортна задача є збалансованою, тобто

од.;

од.,

і тому немає потреби вводити фіктивного постачальника або спо­живача.

Перший опорний план транспортної задачі побудовано методом мінімальної вартості.

Перший опорний план задачі неоптимальний. Перехід від нього до другого плану виконуємо, заповнюючи порожню клітинку D₁D₁ згідно з побудованим циклом.

A, D	D, B							ui
	D1 = = 2500	D2 = = 1200	В1 = 900	В2 = 700	В3 = 1000	В4 = 500	В5 = 600
A1 = 1000	2 300	8	M	3 700	M	M	M	u1 = 2
A2 = 1500	3 300	5 1200	M	M	M	M	M	u2 = 3
A3 = 1200	1 –1200	4	M	M	M	4 3	M	u3 = 1
D1 = 2500	0 +700	M	1 900	3	8 900–	5 1	4	u4 = 0
D2 = 1200	M	0	2	4	5 +100	3 500–	1 600	u5 = = –3
vj	v1 = 0	v2 = 2	v3 = 1	v4 = 1	v5 = 8	v6 = 6	v7 = 4

Тому Z₁ = 2  300 + 3  700 + 3  300 + 5  1200 + 1  1200 + + 1  900 + 8  900 + 5  100 + 3  500 + 1  600 = 21 500 ум. од.

Таблиця, що відповідає третьому опорному плану задачі, має такий вигляд:

A, D	D, B							ui
	D1 = = 2500	D2 = = 1200	В1 = 900	В2 = 700	В3 = = 1000	В4 = 500	В5 = 600
A1 = 1000	2 300	8	M	3 700	M	M	M	u1 = 0
A2 = 1500	3 300	5 1200	M	M	M	M	M	u2 = 2
A3 = 1200	1 700	4	M	M	M	4 500	M	u3 = 3
D1 = = 2500	0 1200	M	1 900	3	8 400	5	4	u4 = 0
D2 = = 1200	M	0	2	4	5 600	3	1 600	u5 = –3
vj	v1 = 0	v2 = 2	v3 = 1	v4 = 1	v5 = 8	v6 = 3	v7 = 4

В останній таблиці маємо оптимальний план транспортної задачі:

Z_min = 2  300 + 3  700 + 3  300 + 5  1200 + 1  700 + 4  500 + + 1  900 + 8  400 + 5  600 + 1  600 = 20 000 ум. од.

Для більшої наочності оптимальний план перевезення продук­ції двоетапної транспортної задачі подамо у вигляді схеми.

Зі схеми бачимо, що на перший склад надходить лише 300 + 300 + 700 = 1300 од. продукції, тобто його місткість використовується не повністю (D₁D₁ = 1200 од.). Це виникає внаслідок прямих поставок продукції за маршрутом А₁В₂ у кількості 700 од. і А₃В₄ — у кількості 500 од.

Розглянута транспортна задача має ще один альтернативний оптимальний план, який відрізняється від першого лише в частині, що стосується перевезення продукції зі складів до третього та п’ятого споживачів.

Поряд із розглянутою у транспортних задачах із проміжними пунктами можуть зустрічатися також такі ситуації:

1. Незбалансованість транспортної задачі ( ). У цьому разі необхідно ввести або фіктивного постачальника, або фіктивного споживача, звівши задачу до закритого типу.

2. Місткість проміжних пунктів не відповідає загальному обсягу продукції постачальників: а) коли (у цьому разі потрібно або ввести фіктивний проміжний пункт, і кількість продукції, що «перевозитиметься» до нього, має означати невивезену частину продукції відповідного постачальника, або дозволити транзитні перевозки за обсягом не менш як (од.)); б) коли (у цьому разі немає потреби вводити фіктивного постачальника і заздалегідь зрозуміло, що місткість проміжних пунктів повністю не використовуватиметься).

3. Місткість проміжних пунктів не відповідає загальній потребі споживачів: а)  (у цьому разі потрібно або ввести фіктивний проміжний пункт, і кількість продукції, що «перевозитиметься» від нього до споживача В, має означати незадоволений попит відповідного споживача, або дозволити пряме перевезення продукції від постачальників до споживачів за обсягом не менш як (од.)); б)  (аналогічно п. 2б).

5.4. ПРИКЛАДИ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Розв’язати наведені далі транспортні задачі (5.5—5.15)

Задача 5.5.

ai = (8; 10; 5); bj = (5; 5; 10);

.

Задача 5.6.

ai = (8; 7; 6); bj = (7; 10; 6);

.

Задача 5.7.

ai = (15; 10; 5; 20); bj = (10; 20; 15);

.

Задача 5.8.

ai = (10; 20; 40); bj = (30; 10; 60);

.

Задача 5.9.

ai = (30; 35; 60); bj = (25; 25; 40; 30);

.

Задача 5.10.

ai = (160; 80; 60); bj = (60; 20; 40; 20; 100);

.

Задача 5.11.

ai = (5; 20; 10); bj = (10; 25; 15);

.

Задача 5.12.

ai = (30; 40; 20); bj = (40; 30; 20; 40);

.

Задача 5.13.

ai = (30; 40; 50); bj = (35; 30; 60);

.

Задача 5.14.

ai = (10; 20; 80; 50); bj = (30; 10; 60; 50);

.

Задача 5.15.

ai = (40; 20; 50; 20); bj = (20; 45; 35; 40);

.

Задача 5.16.

Передбачено штрафи за недопостачання одиниці продукції до споживачів В₁, В₂, В₃ у розмірі відповідно 5, 3 та 2 ум. од. Визначити оптимальний план такої транспортної задачі:

ai = (10; 80; 15); bj = (75; 20; 50);

.

Задача 5.17.

Розв’язати задачу 5.2 за умови, що вартість збереження та переробки невивезеної продукції в господарствах А₁, А₂ і А₃ дорівнює відповідно 2, 4 та 1 ум. од.

Задача 5.18.

Розв’язати транспортну задачу:

ai = (80; 40; 60; 40); bj = (70; 60; 80);

,

якщо вартість зберігання одиниці невивезеної продукції у постачальників А₁, А₂, А₃, А₄ дорівнює відповідно 5, 4, 2 та 3 ум. од.

Задача 5.19.

Розв’язати транспортну задачу:

ai = (75; 40; 35; 40); bj = (20; 60; 140);

,

якщо штрафи за недопостачання продукції споживачам В₁, В₂, В₃ становлять відповідно 6, 4 та 8 ум. од.

Задача 5.20.

Розв’язати транспортну задачу за умови, що вартість зберігання невивезеної продукції в постачальників А₁, А₂, А₃ дорівнює відповідно 8, 7 та 5 ум. од. за одиницю продукції:

ai = (60; 90; 50); bj = (30; 80; 20; 40);

.

Задача 5.21.

У задачі 5.18 незадоволений попит споживачів В₁, В₂, В₃, В₄ обкладається штрафом у розмірі відповідно 6, 7, 3 та 2 ум. од. за кожну одиницю продукції. Визначити новий оптимальний план транспортної задачі.

Задача 5.22.

У транспортній задачі загальний обсяг виробництва продукції перевищує загальний попит. Припустимо, що вартість зберігання одиниці продукції, яка не вивозиться від постачальників А₁, А₂, А₃, А₄, дорівнює відповідно 7, 3, 4 та 8 ум. од. Визначити оптимальний план задачі:

ai = (30; 80; 20; 40); bj = (60; 80; 20);

.

Задача 5.23.

У незбалансованій транспортній задачі загальний попит перевищує загальний обсяг виробництва на 10 ум. од. продукції. За недопостачання продукції споживачам умовою задачі передбачаються штрафи в розмірі 6 та 4 ум. од. за кожну одиницю продукції відповідно для першого та другого постачальників. Визначити оптимальний план такої транспортної задачі:

ai = (10; 10; 30; 20); bj = (20; 30; 20; 10);

.

Задача 5.24.

Розглянути задачу 5.16. Припустимо, що в ній не введено штрафів за недопостачання продукції, але висунуто таку вимогу: попит третього споживача має задовольнятися повністю. Сформулювати нову транспортну задачу та визначити її оптимальний план.

Задача 5.25.

У незбалансованій транспортній задачі призначено плату за зберігання кожної одиниці невивезеної продукції від постачальників у розмірі відповідно 5, 4 та 3 ум. од.. Визначити оптимальний план задачі, якщо висунуто таку додаткову умову: уся продукція від другого постачальника має бути вивезена повністю для того, щоб звільнилося місце для нової продукції.

ai = (20; 40; 30); bj = (30; 20; 20);

.

Задача 5.26.

Розв’язати транспортну задачу:

ai = (20; 25; 20; 10); bj = (20; 30; 40; 15);

.

Додаткова умова: попит третього споживача задовольнити пов­ністю.

Задача 5.27.

Розв’язати транспортну задачу:

ai = (20; 16; 14; 22); bj = (16; 18; 12; 15);

.

Додаткова умова: ресурси четвертого постачальника використати повністю.

Задача 5.28.

Розв’язати транспортну задачу:

ai = (10; 8; 15; 12); bj = (15; 10; 5; 20);

.

Додаткова умова: попит першого та четвертого споживачів задовольнити повністю.

Задача 5.29.

Розв’язати транспортну задачу:

ai = (75; 80; 70); bj = (30; 70; 70; 35);

.

Додаткова умова: ресурси першого та третього постачальників використати повністю.

Задача 5.30.

У транспортній задачі визначити оптимальний план за умови повного задоволення потреб першого та другого споживачів:

ai = (100; 150; 180; 70); bj = (100; 200; 230; 80);

.

Задача 5.31.

Розв’язати транспортну задачу:

ai = (40; 30; 20; 40); bj = (20; 40; 30);

.

Додаткова умова: ресурси першого та другого постачальників в оптимальному плані використати повністю.

Задача 5.32.

Визначити оптимальний план транспортної задачі:

ai = (75; 40; 35; 40); bj = (20; 60; 180);

,

в якій потрібно повністю задовольнити попит третього споживача та неможливо виконувати перевезення за маршрутами А₁В₂ та А₃В₁.

Задача 5.33.

Знайти оптимальний план транспортної задачі:

ai = (80; 40; 60; 40); bj = (45; 65; 20; 80);

.

Додаткові умови: повністю використати ресурси четвертого постачальника та не виконувати перевезення за маршрутами А₂В₃ та А₃В₄.

Задача 5.34.

Розв’язати транспортну задачу:

ai = (5; 20; 10; 15); bj = (10; 25; 15; 5);

.

Додаткова умова: попит другого споживача задовольнити повністю та за маршрутом А₂В₃ перевезти рівно 10 од. продукції.

Задача 5.35.

Визначити оптимальний план транспортної задачі:

ai = (10; 20; 20; 30); bj = (20; 15; 25; 10);

,

якщо ресурси четвертого постачальника потрібно використати повністю і за маршрутом А₄В₃ перевезти 20 од. продукції.

Задача 5.36.

Розглянути транспортну задачу, в якій необхідно перевезти деяку продукцію від постачальників А₁, А₂, А₃ до споживачів В₁, В₂, В₃, В₄ через проміжні пункти D₁, D₂, D₃. Запаси продукції у постачальників, попит споживачів та місткість складів відповідно a_i = (200; 220; 380), b_j = (150; 50; 350; 250), d_i(j) = (350; 200; 400).

Вартість перевезення одиниці продукції від постачальників на склади та зі складів до споживачів наведено в таблицях.

А	D
	D1	D2	D3
A1	5	2	5
A2	3	1	3
A3	4	7	5

D	B
	B1	B2	B3	B4
D1	3	2	5	2
D2	7	1	3	1
D3	8	5	6	5

Перевезення продукції зі складу на склад неприпустиме.

Визначити оптимальний план поставленої транспортної задачі, який забезпечує найменші загальні витрати на перевезення необхідної продукції від постачальників до споживачів.