- •Навчальне видання Вітлінський Вальдемар Володимирович Наконечний Степан Ількович терещенко Тетяна Опанасівна математичне програмування
- •03680, М. Київ, просп. Перемоги, 54/1
- •Рекомендована література 245
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Розділ 2
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •Приклад 2.1.
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Задача 2.1.
- •Задача 2.2.
- •Задача 2.3.
- •Задача 2.4.
- •2.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.5.
- •Задача 2.6.
- •Задача 2.7.
- •Задача 2.8.
- •Задача 2.9.
- •Задача 2.35.
- •Задача 2.36.
- •§ 2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •Задача 2.41.
- •Задача 2.42.
- •Задача 2.43.
- •Задача 2.44.
- •2.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.45.
- •Задача 2.46.
- •Задача 2.47.
- •Задача 2.48.
- •Задача 2.49.
- •2 .8. Контрольні запитання
- •2.9. Теми рефератів
- •2 .10. Основні терміни та поняття
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 3 двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.2. Теореми двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Задача 3.1.
- •Задача 3.2.
- •Задача 3.3.
- •3 .6. Контрольні запитання
- •3 .7. Теми рефератів
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Задача 4.3.
- •Задача 4.4.
- •Задача 4.5.
- •Задача 4.6.
- •Задача 4.7.
- •Задача 4.8.
- •Задача 4.9.
- •Задача 4.10.
- •Задача 4.11.
- •Задача 4.12.
- •Задача 4.13.
- •Задача 4.20.
- •Задача 4.21.
- •4.4. Заключні зауваження
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Задача 5.1.
- •Задача 5.2.
- •Задача 5.3.
- •Задача 5.4.
- •Задача 5.37.
- •Задача 5.38.
- •Задача 5.39.
- •Задача 5.40.
- •5.5. Заключні зауваження
- •5.6. Контрольні запитання
- •5 .7. Теми рефератів
- •5 .8. Основні терміни та поняття
- •4.5. Контрольні запитання
- •4 .6. Теми рефератів
- •4 .7. Основні терміни та поняття
- •Розділ 6
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •Задача 6.1.
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •Задача 6.2.
- •Задача 6.3.
- •Задача 6.4.
- •Задача 6.5.
- •Задача 6.6.
- •6.1.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.7.
- •Задача 6.8.
- •Задача 6.9.
- •Задача 6.10.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •2) Максимізації комплектів, до яких деталі входять відповідно 6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •Задача 6.14.
- •Задача 6.15.
- •Задача 6.16.
- •6.2.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.17.
- •Задача 6.18.
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •Задача 6.19.
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •Задача 6.20.
- •6.3.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.21.
- •Задача 6.22.
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.2. Методика розв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •Задача 6.23.
- •Задача 6.24.
- •6.4.4. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.25.
- •Задача 6.26.
- •Задача 6.27.
- •Задача 6.28.
- •Задача 6.29.
- •Задача 6.30.
- •Задача 6.31.
- •Задача 6.32.
- •Задача 6.33.
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •Задача 6.34.
- •Задача 6.35.
- •6.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.36.
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
- •Задача 6.37.
- •Задача 6.38.
- •Задача 6.39.
- •Задача 6.40.
- •Задача 6.41.
- •Задача 6.42.
- •Задача 6.43.
- •6.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.44.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •6.7. Заключні зауваження
- •6.8. Контрольні запитання
- •6 .9. Теми рефератів
- •6 .10. Основні терміни та поняття
Задача 6.43.
Фермер планує вирощувати
озиму пшеницю, цукровий буряк, кормові
культури і виробляти молоко. Потрібно
оптимізувати структуру виробництва,
якщо під ці види діяльності виділено
30 га ріллі. Середні техніко-економічні
показники вміщено в таблиці:
№ п/п |
Сфера діяльності |
Урожайність, ц/га |
Витрати кормів, корм. од. |
Ціна, грн. |
Собівартість, грн. |
1 2 3 |
Землеробство: вирощування озимої пшениці, га цукрових буряків, га кормових культур, га |
50 400 60 |
— — — |
70 2 — |
40 1,4 — |
4 |
Тваринництво — вирощування корів, голів |
4000 |
48 |
100 |
— |
Розв’язування. Відомо, що результати діяльності сільськогосподарських підприємств значною мірою залежать від погодних умов, попиту і пропозиції щодо їхньої продукції і т. ін.
Отже, сільськогосподарські підприємства функціонують і розвиваються в умовах невизначеності. Функції розподілу параметрів (урожайності сільськогосподарських культур, собівартості і цін на продукцію тощо) невідомі. Однак з доволі високою точністю можна визначити ці параметри для відповідних ситуацій. Виокремимо станів погоди. Для кожного з них на підставі статистичної інформації або експертними методами визначають відповідні техніко-економічні показники.
Нехай 1 — стан погоди, коли врожайність сільськогосподарських культур найнижча. Відповідно маємо: 2 — урожайність, вища за низьку, але нижча від середньої; 3 — середня врожайність; 4 — урожайність, вища від середньої, але нижча за найвищу; 5 — найвища врожайність. Згідно з цими даними маємо техніко-економічні показники, які наведено у поданій далі таблиці:
Позначимо х11, х12, х13, х14, х15 площу посіву, га, озимої пшениці за станів погоди відповідно 1, 2, 3, 4, 5. Аналогічно:
х21, х22, х23, х24, х25 — те саме щодо цукрового буряка, га;
х31, х32, х33, х34, х35 — те саме щодо кормових культур, га;
х41, х42, х43, х44, х45 — поголів’я корів залежно від зазначених станів погоди.
За критерій оптимальності візьмемо максимізацію прибутку.
Запишемо економіко-математичну модель з урахуванням розглянутих далі обмежень.
№ п/п |
Сфера діяльності |
Погодні |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
Урожайність, ц/га |
Витрати кормів, корм. од. |
Ціна, грн. |
Собівартість, грн. |
Урожайність, ц/га |
Витрати кормів, корм. од. |
Ціна, грн. |
Собівартість, грн. |
||||||||||||||
1 |
Вирощування озимої пшениці, га |
30 |
— |
80 |
50 |
35 |
— |
75 |
45 |
||||||||||||
2 |
Виробництво побічної продукції з пшениці на корм, корм. од. |
6 |
— |
— |
16 |
7 |
— |
— |
15 |
||||||||||||
3 |
Вирощування цукрового буряка, га |
200 |
— |
5 |
4 |
250 |
— |
4,75 |
3,75 |
||||||||||||
4 |
Виробництво побічної продукції з кормового буряка, корм. од. |
20 |
— |
— |
14 |
22 |
— |
— |
13 |
||||||||||||
5 |
Вирощування кормових культур, га |
50 |
— |
— |
28 |
55 |
— |
— |
26 |
||||||||||||
6 |
Вирощування корів, голів |
40 |
45 |
80 |
454 |
40 |
45 |
75 |
43 |
||||||||||||
стани |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
Урожайність, ц/га |
Витрати кормів, корм. од. |
Ціна, грн. |
Собівартість, грн. |
Урожайність, ц/га |
Витрати кормів, корм. од. |
Ціна, грн. |
Собівартість, грн. |
Урожайність, ц/га |
Витрати кормів, корм. од. |
Ціна, грн. |
Собівартість, грн. |
||||||||||
40 |
— |
70 |
40 |
45 |
— |
65 |
35 |
50 |
— |
60 |
30 |
||||||||||
8 |
— |
— |
14 |
9 |
— |
— |
13 |
10 |
— |
— |
12 |
||||||||||
300 |
— |
4,5 |
3,5 |
350 |
— |
4,25 |
3,25 |
400 |
— |
4 |
3 |
||||||||||
24 |
— |
— |
12 |
26 |
— |
— |
11 |
28 |
— |
— |
10 |
||||||||||
60 |
— |
— |
24 |
65 |
— |
— |
22 |
70 |
— |
— |
20 |
||||||||||
40 |
45 |
70 |
41 |
40 |
45 |
65 |
39 |
40 |
45 |
60 |
37 |
1. Щодо використання ріллі для кожного -го стану погоди:
,
,
,
2. За сівозмінами (площа під кормовими культурами має бути не меншою, ніж під озимою пшеницею, а остання площа — не меншою, ніж під цукровим буряком).
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
3. Щодо забезпечення корів кормами:
,
,
,
,
.
4. За інерційністю посівних площ і кількістю корів. Ці показники мають бути стабільними для всіх станів погоди:
,
,
,
.
5. Змінні економіко-математичної моделі мають бути невід’ємними:
Запишемо критерій оптимальності. Прибуток обчислюється з урахуванням імовірності певного стану погоди. Наприклад, прибуток, отриманий від вирощування цукрового буряка в разі ситуації 4, буде такий:
Аналогічно обчислюємо решту коефіцієнтів цільової функції. Отримаємо:
.
Реалізувавши на ЕОМ цю економіко-математичну модель структури (поєднання) галузей, дістанемо стратегічний план. Залежно від погодних умов буде знайдено результати діяльності фермера. Після цього розробляється економіко-математична модель для оптимізації тактичного плану, тобто раціонального використання отриманих кормів, сільськогосподарської сировини тощо. Тактичний план може й значно відрізнятися від стратегічного, але стратегію змінювати не слід. Стратегічний план, як уже зазначалося, можна змінювати лише тоді, коли суттєво змінилися зовнішні або внутрішні умови (поліпшилася технологія виробництва, виникли нові перспективні види діяльності, змінилися ціни на ресурси чи продукцію тощо).
Отже, задача є багатоетапною. Перехід до дискретного варіанта дає змогу дістати умовно оптимальний (раціональний) план.