- •Навчальне видання Вітлінський Вальдемар Володимирович Наконечний Степан Ількович терещенко Тетяна Опанасівна математичне програмування
- •03680, М. Київ, просп. Перемоги, 54/1
- •Рекомендована література 245
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Розділ 2
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •Приклад 2.1.
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Задача 2.1.
- •Задача 2.2.
- •Задача 2.3.
- •Задача 2.4.
- •2.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.5.
- •Задача 2.6.
- •Задача 2.7.
- •Задача 2.8.
- •Задача 2.9.
- •Задача 2.35.
- •Задача 2.36.
- •§ 2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •Задача 2.41.
- •Задача 2.42.
- •Задача 2.43.
- •Задача 2.44.
- •2.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.45.
- •Задача 2.46.
- •Задача 2.47.
- •Задача 2.48.
- •Задача 2.49.
- •2 .8. Контрольні запитання
- •2.9. Теми рефератів
- •2 .10. Основні терміни та поняття
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 3 двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.2. Теореми двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Задача 3.1.
- •Задача 3.2.
- •Задача 3.3.
- •3 .6. Контрольні запитання
- •3 .7. Теми рефератів
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Задача 4.3.
- •Задача 4.4.
- •Задача 4.5.
- •Задача 4.6.
- •Задача 4.7.
- •Задача 4.8.
- •Задача 4.9.
- •Задача 4.10.
- •Задача 4.11.
- •Задача 4.12.
- •Задача 4.13.
- •Задача 4.20.
- •Задача 4.21.
- •4.4. Заключні зауваження
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Задача 5.1.
- •Задача 5.2.
- •Задача 5.3.
- •Задача 5.4.
- •Задача 5.37.
- •Задача 5.38.
- •Задача 5.39.
- •Задача 5.40.
- •5.5. Заключні зауваження
- •5.6. Контрольні запитання
- •5 .7. Теми рефератів
- •5 .8. Основні терміни та поняття
- •4.5. Контрольні запитання
- •4 .6. Теми рефератів
- •4 .7. Основні терміни та поняття
- •Розділ 6
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •Задача 6.1.
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •Задача 6.2.
- •Задача 6.3.
- •Задача 6.4.
- •Задача 6.5.
- •Задача 6.6.
- •6.1.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.7.
- •Задача 6.8.
- •Задача 6.9.
- •Задача 6.10.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •2) Максимізації комплектів, до яких деталі входять відповідно 6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •Задача 6.14.
- •Задача 6.15.
- •Задача 6.16.
- •6.2.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.17.
- •Задача 6.18.
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •Задача 6.19.
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •Задача 6.20.
- •6.3.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.21.
- •Задача 6.22.
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.2. Методика розв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •Задача 6.23.
- •Задача 6.24.
- •6.4.4. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.25.
- •Задача 6.26.
- •Задача 6.27.
- •Задача 6.28.
- •Задача 6.29.
- •Задача 6.30.
- •Задача 6.31.
- •Задача 6.32.
- •Задача 6.33.
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •Задача 6.34.
- •Задача 6.35.
- •6.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.36.
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
- •Задача 6.37.
- •Задача 6.38.
- •Задача 6.39.
- •Задача 6.40.
- •Задача 6.41.
- •Задача 6.42.
- •Задача 6.43.
- •6.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.44.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •6.7. Заключні зауваження
- •6.8. Контрольні запитання
- •6 .9. Теми рефератів
- •6 .10. Основні терміни та поняття
Задача 5.2.
Районне агропромислове
об’єднання складається з трьох
господарств А1,
А2,
А3, що
спеціалізуються на вирощуванні ранніх
овочів. Кожне господарство щотижня
збирає відповідно 50, 30 та 20 т овочів,
які необхідно відправляти в чотири
магазини B1,
B2,
B3, B4.
Магазини бажають отримувати ранні овочі
в кількості відповідно 30, 30, 10 та 20 т.
Вартість перевезення 1 т
овочів від господарства до магазинів
наведено в таблиці.
Господарство |
Вартість перевезення 1 т овочів у магазини |
|||
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
|
А1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
А2 |
5 |
7 |
1 |
4 |
А3 |
9 |
4 |
3 |
2 |
Визначити такий план перевезення овочів до магазинів, за якого загальні витрати агропромислового об’єднання будуть найменшими.
Побудова математичної моделі. Нехай хij — кількість тон овочів, які перевозять з і-го господарства j-го магазину ( ; ). Тоді економіко-математична модель поставленої задачі має такий вигляд:
Z = 2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x14 + 5x21 + 7x22 + x23 + + 4x24 + 9x31 + 4x32 +3x33 +2x34 min,
за обмежень
Знак «≤» у перших трьох обмеженнях задачі пояснюється тим, що за умовою транспортна задача є відкритою:
У такій ситуації, коли попит менший за пропозицію, частина овочів залишиться в господарствах і фактично буде вивезено менше, ніж зібрано.
Розв’язування. Щоб визначити оптимальний план поставленої задачі, її необхідно збалансувати, тобто звести до закритого типу. Це виконується шляхом уведення додаткового, умовного споживача B5 із попитом B5 = 100 – 90 = 10 т. Вартість перевезення одиниці продукції до умовного споживача дорівнює нулю.
Перший опорний план транспортної задачі побудуємо методом подвійної переваги.
Aj |
Bj |
ui |
||||
B1 = 30 |
B2 = 30 |
B3 = 10 |
B4 = 20 |
B5 = 10 |
||
A1 = 50 |
2 30 |
3 20 |
4
|
2
|
0
|
u1 = –4 |
A2 = 30 |
5 1 |
7 –10 |
1 10 |
4 0+ |
0 10 |
u2 = 0 |
A3 = 20 |
9
|
4 1 + |
3
|
2 20– |
0
|
u3 = –2 |
vj |
v1 = 6 |
v2 = 7 |
v3 = 1 |
v4 = 0 |
v5 = 0 |
|
Перший опорний план є виродженим, і тому в клітинку, наприклад A2B4, поставимо нуль і вважатимемо її заповненою.
Перевірка плану за допомогою потенціалів показує, що він є неоптимальним. Перехід до другого опорного плану виконується шляхом заповнення клітинки A3B2 згідно із побудованим циклом. Зазначену клітинку включено до циклу тому, що в разі кількох однакових найбільших порушень (21 = 32 = 1) заповнюють таку клітинку таблиці, яка має меншу вартість перевезення одиниці продукції (с32 < c21).
Другий план транспортної задачі наведемо у вигляді таблиці:
Aj |
Bj |
ui |
||||
B1 = 30 |
B2 = 30 |
B3 = 10 |
B4 = 20 |
B5 = 10 |
||
A1 = 50 |
2 30 |
3 20 |
4
|
2
|
0
|
u1 = –3 |
A2 = 30 |
5
|
7
|
1 10 |
4 10 |
0 10 |
u2 = 0 |
A3 = 20 |
9
|
4 10 |
3
|
2 10 |
0
|
u3 = –2 |
vj |
v1 = 5 |
v2 = 6 |
v3 = 1 |
v4 = 4 |
v5 = 0 |
|
Умова оптимальності для цього опорного плану виконується, і тому можна записати:
;
Zmin = 2 30 + 3 20 + 1 10 + 4 10 + 4 10 + 2 10 = 320 ум. од.
Згідно з оптимальним планом потреба магазинів у ранніх овочах задовольняється завдяки повному вивезенню продукції з першого та третього господарств і лише частково — з другого (залишок дорівнює 10 т). У цьому разі загальна вартість усіх перевезень буде найменшою і становитиме 230 ум. од.
Але виявляється, що розглянута транспортна задача має ще один альтернативний оптимальний план. Ознакою цього є виконання умови оптимальності для порожньої клітинки: ui + vj = cij. В останній таблиці це справджується для порожньої клітинки A2B1: u1 + v1 = 0 + 5 = с21 = 5.
Щоб отримати альтернативний оптимальний план, достатньо заповнити зазначену клітинку таблиці, виконавши перерозподіл продукції за таким циклом:
Наведемо транспортну таблицю, що відповідає другому оптимальному плану задачі.
Aj |
Bj |
ui |
||||
B1 = 30 |
B2 = 30 |
B3 = 10 |
B4 = 20 |
B5 = 10 |
||
А1 = 50 |
2 20 |
3 30 |
4
|
2
|
0
|
u1 = –3 |
A2 = 30 |
5 10 |
7
|
1 10 |
4 0 |
0 10 |
u2 = 0 |
A3 = 20 |
9
|
4
|
3
|
2 20 |
0
|
u3 = –2 |
vj |
v1 = 5 |
v2 = 6 |
v3 = 1 |
v4 = 4 |
v5 = 0 |
|
Тому
;
Zmin = 2 20 + 3 30 + 5 10 + 1 10 + 2 20 = 230 ум. од.
Другий оптимальний план задачі формулюється так. Перевезти з першого господарства 20 т овочів до першого магазину та 30 т — до другого; з другого господарства — 10 т до першого магазину та 10 т овочів до третього, залишаючи невивезеними 10 т, а також з третього господарства до четвертого магазину — 20 т овочів. У цьому разі загальні транспортні витрати становитимуть 230 ум. од. і також будуть найменшими.