- •Навчальне видання Вітлінський Вальдемар Володимирович Наконечний Степан Ількович терещенко Тетяна Опанасівна математичне програмування
- •03680, М. Київ, просп. Перемоги, 54/1
- •Рекомендована література 245
- •1.1. Предмет курсу «математичне програмування»
- •Тема 1. Предмет, особливості та сфери застосування математичного програмування в економіці. Класифікація задач
- •Тема 9. Задачі динамічного програмування
- •Розділ 2
- •2.1. Загальна математична модель лінійного програмування
- •Приклад 2.1.
- •2.2. Форми запису задач лп
- •2.3. Геометрична інтерпретація злп
- •2.5. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
- •Задача 2.1.
- •Задача 2.2.
- •Задача 2.3.
- •Задача 2.4.
- •2.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.5.
- •Задача 2.6.
- •Задача 2.7.
- •Задача 2.8.
- •Задача 2.9.
- •Задача 2.35.
- •Задача 2.36.
- •§ 2.6. Симплексний метод розв’язування задач лп
- •Задача 2.41.
- •Задача 2.42.
- •Задача 2.43.
- •Задача 2.44.
- •2.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 2.45.
- •Задача 2.46.
- •Задача 2.47.
- •Задача 2.48.
- •Задача 2.49.
- •2 .8. Контрольні запитання
- •2.9. Теми рефератів
- •2 .10. Основні терміни та поняття
- •Тема 10. Моделі та методи стохастичного програмування
- •Тема 11. Елементи теорії ігор
- •Розділ 3 двоїстість у лінійному програмуванні
- •3.2. Теореми двоїстості
- •3.3. Навчальні завдання
- •Задача 3.1.
- •Задача 3.2.
- •Задача 3.3.
- •3 .6. Контрольні запитання
- •3 .7. Теми рефератів
- •4.1. Економічна інтерпретація двоїстої задачі
- •4.2. Навчальні завдання
- •Задача 4.1.
- •Задача 4.2.
- •Задача 4.3.
- •Задача 4.4.
- •Задача 4.5.
- •Задача 4.6.
- •Задача 4.7.
- •Задача 4.8.
- •Задача 4.9.
- •Задача 4.10.
- •Задача 4.11.
- •Задача 4.12.
- •Задача 4.13.
- •Задача 4.20.
- •Задача 4.21.
- •4.4. Заключні зауваження
- •5.2. Метод потенціалів
- •5.3. Навчальні завдання
- •Задача 5.1.
- •Задача 5.2.
- •Задача 5.3.
- •Задача 5.4.
- •Задача 5.37.
- •Задача 5.38.
- •Задача 5.39.
- •Задача 5.40.
- •5.5. Заключні зауваження
- •5.6. Контрольні запитання
- •5 .7. Теми рефератів
- •5 .8. Основні терміни та поняття
- •4.5. Контрольні запитання
- •4 .6. Теми рефератів
- •4 .7. Основні терміни та поняття
- •Розділ 6
- •6.1. Цілочислове програмування
- •6.1.1. Постановка задачі
- •6.1.2. Метод Гоморі
- •Задача 6.1.
- •6.1.3. Метод «віток і меж»
- •6.1.4. Приклади цілочислових економічних задач
- •Задача 6.2.
- •Задача 6.3.
- •Задача 6.4.
- •Задача 6.5.
- •Задача 6.6.
- •6.1.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.7.
- •Задача 6.8.
- •Задача 6.9.
- •Задача 6.10.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •Задача 6.11.
- •2) Максимізації комплектів, до яких деталі входять відповідно 6.2. Дробово-лінійне програмування
- •6.2.1. Постановка задачі та алгоритм розв’язування
- •6.2.2. Приклади дробово-лінійних задач
- •Задача 6.14.
- •Задача 6.15.
- •Задача 6.16.
- •6.2.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.17.
- •Задача 6.18.
- •6.3. Нелінійне програмування
- •6.3.1. Постановка задачі
- •6.3.2. Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •6.3.3. Метод множників Лагранжа
- •Задача 6.19.
- •6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування
- •Задача 6.20.
- •6.3.5. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.21.
- •Задача 6.22.
- •6.4. Динамічне програмування
- •6.4.2. Методика розв’язування динамічних задач
- •6.4.3. Приклади розв’язування динамічних задач
- •Задача 6.23.
- •Задача 6.24.
- •6.4.4. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.25.
- •Задача 6.26.
- •Задача 6.27.
- •Задача 6.28.
- •Задача 6.29.
- •Задача 6.30.
- •Задача 6.31.
- •Задача 6.32.
- •Задача 6.33.
- •6.5 Теорія ігор
- •6.5.1. Основні поняття теорії ігор
- •Задача 6.34.
- •Задача 6.35.
- •6.5.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.36.
- •6.6. Стохастичне програмування
- •6.6.1 Постановка задач і методи розв’язування
- •6.6.2. Приклади стохастичних економічних задач
- •Задача 6.37.
- •Задача 6.38.
- •Задача 6.39.
- •Задача 6.40.
- •Задача 6.41.
- •Задача 6.42.
- •Задача 6.43.
- •6.6.3. Приклади та завдання для самостійної роботи
- •Задача 6.44.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •Задача 6.45.
- •Задача 6.46.
- •6.7. Заключні зауваження
- •6.8. Контрольні запитання
- •6 .9. Теми рефератів
- •6 .10. Основні терміни та поняття
Задача 6.40.
Оцінити доцільність
страхування, коли особа (клієнт) бажає
застрахувати певну частину свого активу
і сплачує для цього певний внесок
страховій компанії, а у разі втрати
активу одержує від неї страхову
винагороду. Визначити частку активу,
яку доцільно застрахувати.
Розв’язування. Нехай S — актив (капітал, майно тощо), власником якого є певна особа. Частку, що її бажано застрахувати, позначимо х. Страховий внесок, який сплачується страховій компанії, дорівнює rx, а в разі втрати активу клієнт одержує винагороду qx. Коли відома ймовірність p недоторканості активу клієнта, то економіко-математична модель визначення частки страхового активу набирає вигляду:
,
.
Тут легко врахувати також обсяги дивідендів.
Така модель може бути корисною для страхових компаній у разі визначення доцільних розмірів страхових внесків та страхових винагород, які зацікавили б клієнтів і були вигідними самій компанії.
Задача 6.41.
У
буряко-цукровому комплексі мають S
коштів, які необхідно розподілити між
розширенням сировинної бази і збільшенням
потужностей з її переробки. Потрібно
так спланувати розподіл коштів, щоб
отримати найбільшу кількість цукру.
При цьому урожайність цукрових буряків
вважається випадковою величиною
.
Розв’язування. Нехай q1 — питомі витрати коштів на вирощування цукрового буряку на одному гектарі; q2 — питомі приведенні витрати на створення одиниці потужності; d — частка виходу цукру з одиниці сировини; х — планова площа під цукровим буряком; y — планова потужність цукрового заводу.
Потрібно максимізувати приріст обсягу виробництва цукру за обмежених коштів. Економіко-математична модель набирає вигляду:
за умов
,
.
Задача 6.42.
Фермер має можливість купити
три види зерна, щоб готувати з них різні
суміші для відгодівлі свиней.
Дані про поживність зерна, його вартість і мінімальні та максимальні потреби в поживних речовинах відбиває таблиця:
№ п/п |
Зерно |
Поживні речовини |
Ціна, грн. |
|||
Кормових одиниць, ц |
Перетравний протеїн, кг |
Лізин, кг |
Кальцій, кг |
|||
1 |
Ячмінь, ц |
1,15 |
8,5 |
0,41 |
45 |
45 |
2 |
Кукурудза, ц |
1,33 |
7,3 |
0,21 |
40 |
40 |
3 |
Горох, ц |
1,18 |
19,2 |
1,42 |
0,2 |
50 |
4 |
Потреба в поживних речовинах, кг: |
|||||
а) максимальна |
106 |
890 |
45 |
12 |
|
|
б) мінімальна |
95,4 |
801 |
41 |
9 |
|
Потреба в поживних речовинах розподілена рівномірно.
Розробити економіко-математичну модель і знайти оптимальний розв’язок, який забезпечував би мінімальні витрати на закупівлю зерна і задовольняв мінімально допустимі потреби в усіх поживних речовинах з імовірністю .
Розв’язування. Нехай х1, х2, х3 — кількість, кг, ячменю, кукурудзи та гороху, які необхідно закупити.
Критерій оптимальності
за умов
,
,
,
,
де a, b, c, d — випадкові рівномірно розподілені величини.
Цю систему ймовірнісних обмежень запишемо детермінованими еквівалентами:
,
,
,
,
де a1, b1, c1, d1 — значення випадкових величин, що задовольняють відповідно умови:
і ;
і .
Визначимо параметри a1, b1, c1, d1. Із теорії ймовірностей відомо, що
.
Отже, маємо , або ; , .
Звідси знаходимо: ; і .
Запишемо детермінований варіант економіко-математичної моделі купівлі фермером зерна, яке використовуватиметься для відгодівлі свиней:
за умов
,
,
,
,
, , .
Розв’язавши цю задачу симплексним методом, дістанемо ; ; . Оптимальні витрати становлять 3749 грн.