Задача 6.19.

Акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю відвело 1200 га ріллі під основні рослинницькі культури — озиму пшеницю та цукрові буряки.

Техніко-економічні показники вирощування цих культур відбиває таблиця:

Показник	Площа, га, відведена
	під озиму пшеницю, х1	під цукровий буряк, х2
Урожайність, т/га	4	35
Ціна, грн./т	800	300
Собівартість, грн./т

Знайти оптимальну площу посіву озимої пшениці та цукрових буряків.

Нехай х₁ — площа ріллі, відведена під сотні га озимої пшениці; х₂ — площа ріллі, відведена під цукрові буряки, сотні га.

Зауважимо, що собівартість однієї тони пшениці та цукрових буряків залежить від відповідної площі посіву.

Запишемо економіко-математичну модель. За критерій оптимальності візьмемо максимізацію валового прибутку:

за умов

.

Запишемо функцію Лагранжа:

Візьмемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

Із цієї системи визначимо сідлову точку. З першої та другої рівностей знайдемо вирази для ₁ і прирівняємо їх:

,

або

(6.19)

Із останнього рівняння цієї системи маємо:

.

Підставивши значення у (6.19), дістанемо:

або .

Розв’язавши це квадратне рівняння, дістаємо (178 га); (553 га).

Відповідно дістаємо: (1022 га); (647 га). Тобто сідловими точками є такі:

Обчислимо значення цільової функції у цих точках:

Отже, цільова функція набуває максимального значення, якщо озима пшениця вирощується на площі 647 га, а цукровий буряк — на площі 553 га.

6.3.4. Приклади задач нелінійного програмування

Задача 6.20.

Попит на продукцію, що виготовляється на двох видах обладнання, становить 120 одиниць. Собівартість, тис. грн., виробництва одиниці продукції на обладнанні кожної групи залежить від обсягу такого виробництва — відповідно х₁ і х₂ — та подається у вигляді для першої групи: ; для другої групи: .

Знайти оптимальний план виробництва продукції на кожній групі обладнання, який за умови задоволення попиту потребує найменших витрат, пов’язаних із собівартістю продукції.

Розв’язування. Математична модель задачі:

за умов

Згідно з методом множників Лагранжа складемо функцію Лагранжа:

.

Прирівнявши до нуля частинні похідні цієї функції за невідомими параметрами Х₁, Х₂ і , дістанемо систему рівнянь:

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

Отже, на першій групі обладнання необхідно випускати 66,5, а на другій 53,5 одиниць продукції. При цьому мінімальні витрати, тис. грн., становитимуть:

6.3.5. Приклади та завдання для самостійної роботи

Задача 6.21.

За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму.

1. , .		2. , .
3. , .		4. , .
5. , .		6. , .
7. , .		8. , .
9. , .	10. , .
11. , .	12. , .
13. , .	14. , .
15. , .	16. , .
17. , .	18. ,
19. , .	20. , .
21. ,	22. , .
23. ,	24. ,
25. ,	26. ,