Примеры решения задач.

1 . Камень брошен с высоты h = 2,1м под углом  = 45^о к горизонту и падает на землю на расстоянии S = 42м (по горизонтали) от места бросания. Найти начальную скорость υ₀ камня, время полета τ и максимальную высоту подъема над уровнем земли. Определить также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.

Решение.

Движение камня, происходящее по параболе, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного движения по горизонтали (по оси Х) и равнопеременного по вертикали (по оси Y). Начало отсчета удобно выбрать в точке бросания. Ось Y направлена вертикально вверх.

Для движения камня по оси Х получаем ; ; при t = τ, x = S.

Следовательно,

. (1)

Для движения по оси OY

, (2)

. (3)

При t = τ, y = -h, поэтому

, (4)

(5)

Решая совместно уравнения (1) и (4), находим τ и υ₀:

1) с;

2) м/с.

3) Высоту подъёма камня можно найти из условия H = h + y_max.

При y = y_max; υ_y = 0; t = t₁; υ_y = υ₀sinα – gt₁ отсюда (t₁ – время подъёма камня).

Подставив t₁ в уравнение (4), получим , тогда

м.

4) Для определения радиуса кривизны траектории в данной точке нужно определить по величине и направлению вектор полного ускорения. В верхней точке траектории υ_y = 0, υ = υ_x, следовательно, векторы ускорения и скорости взаимно перпендикулярны. Это значит, что a_τ = 0, a_n = g. Зная ускорение и скорость, найдём радиус кривизны траектории в верхней точке:

м.

В конечной точке траектории синус угла β между векторами скорости и ускорения может быть выражен, как показано на рис. 2.2:

Разложим вектор полного ускорения на нормальное и тангенциальное, получим a_τ = gcos β ; a_n = gsin β.

Радиус траектории в этой точке находится из соотношения

м/с.

Тогда R₂ = 63м.

Ответ: υ₀ = 20м/с; τ = 3с; H = 12 м; R₁ = 20м ; R₂ = 63м .

2. Вертикально вверх брошен камень с начальной скоростью υ₀ = 20м/с. Через 1 с после этого брошен вертикально вверх второй камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

Р ешение.

Запишем уравнение пути для каждого камня:

Исходя из условия h = h₁ и t₁ = t + 1. Тогда

с.

Подставляя это значение в уравнение пути, получим:

м.

Ответ: h = 19,18м.

3 . Сплошной диск радиусом R катится без проскальзывания с постоянной скоростью υ по горизонтальной поверхности (рис. 2.3). а) Определите модули и направления скоростей и ускорений точек A, B, C, D на ободе диска относительно неподвижного наблюдателя. б) Какие точки диска имеют туже по модулю скорость, что и центр диска О?

Решение.

С лова «катится без проскальзывания» означают, что точка диска, соприкасающаяся в данный момент с дорогой, имеет нулевую скорость (не случайно мокрое колесо на дороге оставляет столь чёткий след). В системе отсчёта, связанной с центром диска, все точки обода движутся по окружности с одинаковой по модулю скоростью υ_вр. Скорость V точки диска относительно неподвижного наблюдателя V = υ + υ_вр.

На рисунке 2.3 а показаны направления υ_вр для различных точек обода. Очевидно, что V_A = 0 только при υ_вр = υ. Тогда .

Д ля определения ускорений точек то же удобно «разбиение» движения на поступательное и вращательное. Однако поступательное движение с постоянной скоростью υ не даёт вклада в ускорение точек. Значит надо учитывать только вращательное движение с постоянной линейной скоростью υ по окружности радиусом R. Таким образом, все точки обода имеют одинаковое по модулю ускорение , направленное к центру диска. Скорости и ускорения точек A, B, C, D показаны на рис. 2.3 б (V_A = 0).

б). Поскольку V_A = 0, движение диска можно представить как вращение вокруг так называемой мгновенной оси вращения, проходящей через точку А. Тогда модуль скорости любой точки прямо пропорционален расстоянию от точки А. Интересующие нас точки лежат на окружности радиуса R с центром в точке А (рис. 2.3 в). Однако попытка воспользоваться мгновенной осью вращения для определения ускорений точек диска привела бы к ошибке (можете убедиться в этом сами!). Дело в том, что эта ось не связана «жёстко» с какой-либо из точек диска.