Занятие 11. Напряжения и деформации в твёрдом теле. Энергия упругих деформаций.

Учебная цель: Дать понятие о тензоре деформаций. Рассмотреть абсолютно упругое тело и его деформации. Добиться понимания процессов, происходящих при различных видах деформаций. Привить навыки в решении задач на данную тему.

Литература

Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. – Гл. 5, § 5.2.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1987. – Т. 1, гл. 5, § 45.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Какие виды деформаций вы знаете?

2. Дайте определения упругой и пластической деформации?

3. Что называется относительной деформацией?

4. Как определяется коэффициент Пуассона?

5. Как вы понимаете понятие тензора деформаций?

6. Дайте определение нормального напряжения и запишите формулу его определяющую?

7. Физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?

8. Как определяется модуль всестороннего сжатия?

9. Запишите закон Гука для малых деформаций.

10. По каким формулам определяется энергия упругих деформаций.

О сновные определения и формулы

В теории упругости различают следующие виды деформаций:

- растяжение;

- сжатие;

- сдвиг;

- изгиб;

- кручение.

Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму.

Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными).

Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой те­лом, является его относительная деформация.

Продольная деформация определяется по формуле:

(11.1)

где l – длина тела до деформации (начальная длина). Или при ε > 0 - растяжение, а при ε < 0 - сжатие.

Поперечное сжатие характеризуется параметром

(11.2)

Опытным путём установлено, что отношение ε_┴ и ε приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала. Поэтому в теории упругости материал характеризуется коэффициентом Пуассона

(11.3)

Во многих случаях, с одной стороны, деформации меняются от точки к точке (неоднородные деформации), а с другой стороны, они не являются одномерными.

Неоднородные деформации в каждой точке тела в общем случае характеризуются набором девяти величин, являющихся функциями координат. Эти девять величин составляют тензор деформации, однако независимы лишь шесть его величин.

Для описания деформаций в каждой точке можно выбрать такую систему координат, в которой три диагональные компоненты тензора будут отличны от нуля. Как и в случае тензора инерции, для каждой точки тела существуют свои три главные оси. Выясним физический смысл диагональных компонент тензора. Важно отметить, что при сдвиге объём тела не изменяется. Поэтому при деформациях сдвига сумма компонент тензора деформаций (иногда употребляют термин «след тензора»), приведенного к главным осям равна нулю.

Недиагональные компоненты тензора деформаций определяют сдвиговые углы в соответствующих плоскостях.

Нормальным напряжением в торцевом сечении стержня называют силу, действующую на единицу площади поперечного сечения тела.

Н/м² = Па. (11.4)

где S – площадь сечения на которую действует деформирующая сила F.

Е – модуль Юнга. Его физический смысл : модуль Юнга численно равен напряжению, возникающему в твёрдом теле при относительной деформации равной единице (т.е. при увеличении длины тела вдвое: ). Из физического смысла модуля Юнга следует, что Е является большим по числовому значению.

- касательное напряжение аналогичное по смыслу, введенному выше нормальному напряжению, а G - модуль сдвига, являющийся, как и модуль Юнга, характеристикой материала.

Модуль всестороннего сжатия k, определяется по формуле

(11.5)

Потенциальная энергия упругих деформаций

и (11.6)

При небольших деформациях растяжения или сжатия x = |‌l – l₀|‌ = |Δl| сила упругости прямо пропорциональна деформации и направлена в сторону противоположную ей (закон Гука).

F_упр = – kx (11.7)

где k – коэффициент упругости (жесткости), численно равный силе, при которой абсолютное сжатие равно 1 м. зависит от свойств материала и геометрии деформируемого тела. Знак «–» говорит о том, что растяжение х и F_упр всегда направлены в противоположные стороны.