Задачи для самостоятельного решения.

1. Электрон движется со скоростью υ = 0,6c (где с – скорость света в вакууме). Определить импульс электрона.

Ответ: p = 2 ∙ 10^-22 кг∙м/с.

2. Частица движется со скоростью, равной половине скорости света. Во сколько раз масса движущейся частицы больше массы покоящейся?

Ответ: раз.

3. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,8с, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя.

Ответ: u = c.

4. а)Какую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его собственное время стало в 10 раз меньше лабораторного? б) Тоже для протона?

Ответ: а) U = 4,71 ∙ 10⁶В; б) U = 8,45 ∙ 10⁹В.

5. Какую долю скорости света составляет скорость протона с кинетической энергией 60000 МэВ?

Ответ: .

6. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его масса была такой же, как у α - частицы с кинетической энергией 1000 МэВ?

Ответ: U = 3,73 ∙ 10⁹В .

7. Протон и α - частица проходят одинаковую ускоряющую разность потенциалов, после чего масса протона составила треть массы α - частицы. Определить разность потенциалов.

Ответ: U = 9,16 ∙ 10⁸В.

8. Найти скорость частицы, если её кинетическая энергия составляет половину энергии покоя.

Ответ: υ = 2,2 ∙ 10⁸м/с.

9. Найти скорость космической частицы, если её полная энергия в пять раз больше энергии покоя.

Ответ: υ = 2,94 ∙ 10⁸м/с.

10. Масса движущегося протона в 1,5 раза больше его массы покоя. Определить полную и кинетическую энергию этого протона.

Ответ: W_k = 470 МэВ; W = 1410МэВ.

11. Во сколько раз масса протона больше массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию 1000 МэВ.

Ответ: .

12. Собственное время жизни мю – мезона 2,2 ∙ 10⁶с. Скорость мю – мезона относительно Земли принять равной 0,95с. Определить, прилетают ли мю – мезоны, наблюдаемые у поверхности Земли, из мирового пространства или рождаются в земной атмосфере.

Ответ: рождаются в земной атмосфере.

13. Космическая станция движется по орбите со скоростью υ = 7,7км/с. Определить: а) на сколько космонавт, проведший год на орбитальной станции, оказывается моложе своих сверстников, оставшихся на Земле; б) на сколько масса станции на орбите больше её массы покоя, составляющей 10 ⁴ кг?

Ответ: а) Δt = 3,3 ∙ 10^-10года; m – m₀ = 3,3 ∙ 10^-6кг.

14. Найти зависимость импульса частицы с массой т от её кинетической энергии. Вычислить импульс протона с кинетической энергией W_k = 500МэВ.

Ответ: p = 5,75 ∙ 10^-19 кг∙м/с.

15. На сколько увеличится масса α - частицы при увеличении её скорости от 0 до 0,9с?

Ответ: m – m₀ = 8,6 ∙ 10^-27кг.

16. Мюоны, рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости υ = 0,995с пролетают до распада l = 6 км. Определите: 1) собственную длину пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для наблюдателя на Земле; 3) собственное время жизни мюона.

Ответ: l₀ = 599м; Δt = 20,1мкс; Δt₀ = 2мкс.

1 7. В К- системе отсчёта находится неподвижный стержень длины l = 1м, ориентированный под углом к оси Ох (рис. 12.3). Найти длину l’ и соответствующий угол в K’- системе, движущейся относительно К-системы со скоростью υ = 0,5c вдоль оси Ох.

Ответ: l’ = 0,94м; .

18. Стержень движется вдоль линейки с некоторой постоянной скоростью. Если зафиксировать положение обоих концов стержня одновременно в системе отсчёта, связанной с линейкой, то разность отсчётов по линейке Δx₁ = 4м. Если же положение обоих концов зафиксировать в системе отсчёта, связанной со стержнем, то разность отсчётов по той же линейке Δx₂ = 9м. Определить собственную длину стержня l₀ и скорость υ относительно линейки.

Ответ: υ ≈ 0,75c.

19*. В К-системе отсчёта находится неподвижный приёмник Р (рис.12.4). К нему со скоростью υ приближается источник S световых сигналов. В системе отсчёта, связанной с источником, сигналы испускаются периодически с частотой v₀ (собственная частота). С какой частотой v будет воспринимать эти сигналы приёмник Р?

Ответ: .

20. Стержень, ориентированный параллельно оси х К-системы отсчёта, движется в этой системе со скоростью υ в положительном направлении оси у. Найти угол между стержнем и осью x’ K’- системы, перемещающейся со скоростью относительно К- системы в положительном направлении её оси х. Оси х и x’ совпадают, оси у и y’ параллельны друг другу.

Ответ: .

21. Частица с массой покоя m₀ начала двигаться под действием постоянной силы F. Найти зависимость скорости частицы от времени.

Ответ: _.

22. Релятивисткая частица с массой покоя m₀ и зарядом q движется в постоянном однородном магнитном поле, индукция которого B.Движение происходит по окружности радиуса R в плоскости, перпендикулярной вектору B. Найти импульс и круговую частоту обращения частицы по окружности.

Ответ: p = qRB; .

23. Релятивисткий протон с импульсом p₀ влетел в момент t = 0 в область, где имеется поперечное однородное электрическое поле с напряжённостью E, причём . Найти зависимость от времени угла , на который протон будет отклоняться от первоначального направления движения.

Ответ: .

24. Два протона движутся навстречу друг другу с одинаковыми кинетическими энергиями W (в К- системе отсчёта). Найти кинетическую энергию W’ одного протона в K’- системе отсчёта, где другой протон покоится.

Ответ: .

25. Во сколько раз увеличивается продолжительность существования нестабильной частицы по часам неподвижного наблюдателя, если она начинает двигаться со скоростью, составляющей 99% скорости света?

Ответ: раза.

26. До какой энергии W_k можно ускорить частицы в циклотроне, если относительное увеличение массы недолжно превышать 5%. Задачи решить для: а) электронов; б) протонов; в) дейтронов (ядро изотопа водорода «дейтерия» ²H, m_d = 2m_p).

Ответ: а) W_k = 25,6 ∙ 10³эВ; б) W_k = 47 ∙ 10⁶эВ; в) W_k = 94 ∙ 10⁶эВ.

27. Какому изменению массы Δm соответствует изменение энергии ΔW = 4,19Дж?

Ответ: Δm = 4,6 ∙ 10^-17кг.

28. Две нестабильные частицы движутся в системе отсчёта К в одном направлении вдоль одной прямой с одинаковой скоростью υ = 0,6c. Расстояние между частицами в этой системе равно 64м. Обе частицы распались одновременно в системе K’, которая связана с ними. Определите промежуток времени между распадом частиц в системе К.

Ответ: Δt’ = 0,16мкс.

29. В системе K’ покоится стержень (собственная длина l₀ = 1,5м), ориентированный под углом к оси Ox’. Система K’ движется относительно системы К со скоростью скоростью υ = 0,6c. Определите в системе К: 1) длину стержня; 2) соответствующий угол .

Ответ: l = 1,28м; .

30. Воспользовавшись тем, что интервал является инвариантной величиной по отношению к преобразованиям координат, определите расстояние, которое пролетел π-мезон с момента рождения до распада, если время его жизни в этой системе отсчёта Δt = 4,4мкс, а собственное время жизни Δt₀ = 2,2мкс.

Ответ: l = 1,14км.

31. Определите работу, которую нужно совершить, чтобы увеличить скорость частицы от 0,5с до 0,7с.

Ответ: A = 0,245m₀c².

32. Тело движется с постоянной скоростью υ относительно инерциальной системы отсчёта К. При каком значении υ продольные размеры тела уменьшатся в n раз для наблюдателя в этой системе? Вычислить υ при n = 1,5.

Ответ: υ = 2,3 ∙ 10⁸м/с.

33. Космическая ракета удаляется от наблюдателя со скоростью υ = 0,8c. На ракете установлена пушка, которая может сообщать снаряду скорость u относительно ракеты. а) Какую скорость V относительно наблюдателя имеет снаряд, выпущенный вперёд со скоростью u = υ? б) При какой величине u снаряд, выпущенный назад, будет приближаться к наблюдателю со скоростью V = υ?

Ответ: а) V = 0,98c; б) u = 0,98c.

34. На сколько меньше скорости света должна быть скорость электрона, чтобы его энергия была равна энергии покоя протона?

Ответ: c – υ = 44,5м/с.

35*. Какую энергию W нужно сообщить протону, чтобы при бомбардировке неподвижных водородных мишеней стали возможны те же процессы, что и в случае столкновения двух протонов, движущихся навстречу друг другу с энергией W₁ = 70ГэВ каждый?

Ответ: W = 10400ГэВ.

П Р И Л О Ж Е Н И Я

П р и л о ж е н и е 1