Примеры решения задач.

1 . Деревянный стержень массой M = 6кг и длиной l = 2м может вращаться в вертикальной плоскости относительно оси, проходящей через точку О (рис. 8.2). В конец стержня попадает пуля массой m₀ = 10г, летевшая со скоростью υ₀ = 10³м/с, направленной перпендикулярно стержню и оси и застревает в нём. Определить кинетическую энергию стержня после удара и максимальный угол отклонения стержня.

Р ешение.

Физическую систему образуем из двух тел: стержня и пули. Пулю можно считать за материальную точку, стержень примем за твёрдое тело. Физическое явление заключается во взаимодействии этих тел (абсолютно неупругий удар). Состояние системы до взаимодействия известно, необходимо определить некоторый параметр системы (кинетическую энергию) после взаимодействия.

Применим законы сохранения. Пуля до взаимодействия двигалась прямолинейно, а после взаимодействия вместе со стержнем вращается вокруг неподвижной оси. Целесообразно применить закон сохранения момента импульса относительно этой оси. Условия применимости этого закона выполнены.

ИСО, как обычно, свяжем с Землёй, начало координат поместим в точку О, а ось вращения примем за ось ОХ. Момент импульса пули относительно оси вращения до удара равен m₀υ₀l, а стержня – нулю. После удара момент импульса стержня и пули равен Jω, где J - момент инерции стержня и пули относительно оси вращения, а ω - угловая скорость вращения стержня и пули после удара. Так как момент инерции пули m₀l² значительно меньше момента инерции стержня , то можно приближённо считать . По закону сохранения момента импульса.

m₀υ₀l = Jω

Тогда кинетическая энергия стержня

Дж

Заметим, что начальная кинетическая энергия пули (до удара) Дж, что значительно больше кинетической энергии стержня после удара. В результате неупругого удара большая часть начальной механической энергии превратилась в немеханические виды энергии. В процессе взаимодействия возникли огромные неконсервативные силы, которые и рассеяли механическую энергию системы. Поэтому неправильно было бы применять в этой задаче закон сохранения энергии в механике в виде:

Неправильно было бы в этой задаче применять и закон сохранения импульса, ибо после удара стержень с пулей участвуют во вращательном движении. По этому закону мы получили бы m₀υ₀ = (M + m)u, где u = ωl. Отсюда, пренебрегая массой пули по сравнению с массой стержня, находим . Тогда кинетическая энергия стержня

Дж,

что почти на порядок меньше правильного результата.

Определим, на какой максимальный угол α от вертикали отклонится стержень после удара. После удара неконсервативных сил в системе нет и, следовательно, к дальнейшему движению стержня и пули можно применить закон сохранения энергии в механике. По этому закону

,

где h - высота, на которую поднялся центр масс стержня, находящийся в точке А после удара (рис. 8.3). Здесь учтено, что m₀ << M. Из треугольника ОВС получаем

Решая полученную систему уравнений, находим

Ответ: W_k = 25Дж; α ≈ 54⁰.

2. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5м и массой m₁ = 180кг вращается по инерции около вертикальной оси, делая 0,17 об/с. В центре платформы стоит человек массой m₂ = 60кг (рис. 8.4). Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдёт на край платформы? С какой частотой будет вращаться платформа?

Решение

По закону сохранения момента импульса

J₁ω₁ = J₁ω₂, (1)

где J₁ – момент инерции платформы J₀ и человека J_ч в центре платформы; J₂ – момент инерции платформы J₀ и человека J_ч, стоящего на краю; ω₁ и ω₂ – угловые скорости платформы с человеком в первом и втором положениях.

Момент инерции платформы (диска) ; момент инерции человека рассчитывают как для материальной точки. Поэтому J_ч = 0 J_ч^’ = m₂R²

Выражая угловую скорость через частоту вращения по формуле ω = 2πv и, подставляя все в уравнение (1), получим:

Тогда

;

об/с.

Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением

υ = ω₂R = 2πv₂R.