Задачи для самостоятельного решения.

1. Материальная точка массой m = 0,1кг равномерно движется по окружности со скоростью υ = 2м/с (рис. 6.4). 1) Изменяется ли импульс тела? 2) Найти изменение импульса тела через четверть периода, половину периода.

Ответ: Δp₁ = 0,28 кг ∙ м/с;

Δp₃ = 0,4 кг ∙ м/с.

2. Шарик массой m = 100г свободно упал на горизонтальную поверхность, имея в момент удара скорость υ = 10м/с (рис. 6.5). Определить импульс силы, полученный поверхностью, если: а) удар неупругий; б) удар абсолютно упругий.

Ответ: а) FΔt = – 1 H ∙ c; б) FΔt = 2 H ∙ c.

3. Молекула массой 510^-26 кг, летящая со скоростью 500 м /с, ударяется о стенку сосуда под углом 60⁰ к поверхности и упруго отскакивает от неё под тем же углом (рис. 6.6). Найти импульс силы, полученный стенкой при ударе.

Ответ: FΔt = 4,35 ∙ 10^-23 H ∙ c.

4. Деревянный шарик падает вертикально вниз с высоты 2 м без начальной скорости. Коэффициент восстановления при ударе шарика о пол считать равным 0,5. Найти: а) высоту, на которую поднимается шарик после удара о пол; б) количество тепла, которое выделиться при этом ударе. Масса шарика 100 г.

Ответ: h₂ = 0,5м; Q = 1,48Дж.

5. В лодке массой m₁ = 240кг стоит человек массой m₂ = 60кг. Лодка плывёт со скоростью υ₁ = 2м/с. Человек прыгает из лодки в горизонтальном направлении со скоростью υ₂ = 4м/с (относительно лодки). Найти скорость движения лодки после прыжка человека: а) вперёд по движению лодки; б) в сторону, противоположную движению лодки.

Ответ: υ₁^’ = 1; υ₁^’’ = 3м/с.

6. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром и передал ему 64% своей кинетической энергии. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара больше массы первого?

Ответ: раза.

7. Граната, летящая со скоростью 15 м/с, разорвалась на два осколка массами 6 и 14 кг. Скорость большого осколка возросла до 24 м/с по направлению движения. Найти скорость и направление движения меньшего осколка.

Ответ: υ₁ = – 6м/с.

8. Метеорит и ракета движутся под углом 90 ⁰ друг к другу. Ракета попадает в метеорит и застревает в нём. Масса метеорита т, масса ракеты , скорость метеорита υ, скорость ракеты 2υ. Определить импульс метеорита и ракеты после соударения.

Ответ: .

9. Ракета, масса которой без заряда 400г, при сгорании 50г топлива поднимается на высоту 125м. Определить скорость выхода газов из ракеты, считая, что сгорание топлива происходит мгновенно.

Ответ: υ₁ = 400м/с.

10. Из орудия массой m₁ = 5 ∙ 10³кг вылетает снаряд массой m₂ = 100кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете Дж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи.

Ответ: W₁ =144 кДж.

11. Два тела движутся навстречу друг другу и соударяются неупруго. Скорости тел до удара были υ₁ = 2м/с и υ₂ = 4м/с. Общая скорость тел после удара 1 м/с и по направлению совпадает с направлением скорости υ₁. Во сколько раз кинетическая энергия первого тела была больше кинетической энергии второго тела?

Ответ:

12. Абсолютно упругий шар массой m₁ = 1,8кг сталкивается с покоящимся упругим шаром большей массы m₂. В результате прямого удара шар потерял 36% своей кинетической энергии. Определить массу большего шара.

Ответ: m₂ = 7,1кг; 0,45кг.

13. Шар массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с и ударяется о неподвижный шар такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, найти количество тепла, выделившееся при ударе.

Ответ: Q = 12Дж.

14. Два шара подвешены на параллельных нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Масса первого шара 0,2 кг, масса второго 0,1 кг. Первый шар отклоняют так, что его центр тяжести поднимается на высоту 4,5 см и отпускают. На какую высоту поднимутся шары после соударения, если: а) удар неупругий; 2) удар упругий.

Ответ: а) h = 2 ∙ 10 ^-2м; б) h₁ ≈ 5 ∙ 10 ^-3м; h₂ = 8 ∙ 10 ^-2м.

15. Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на лёгком жёстком стержне, и застревает в нём. Масса пули в 1000раз меньше массы шара. Расстояние от точки подвеса стержня до центра шара равно 1 м. Найти скорость пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол 10 ⁰.

Ответ: υ₁ = 560,5м/с.

16. Движущееся тело массой m₁ ударяется о неподвижное тело массой m₂. Считая удар упругим и центральным, найти, какую часть своей первоначальной кинетической энергии первое тело передаёт второму при ударе. Рассмотреть случаи: а) m₁ = m₂; б) m₁ = 9m₂.

Ответ: а) ; б) .

17. Нейтрон (масса m₀) ударяется о неподвижное ядро: а)атома углерода (m = 12m₀); б) атома урана m = 235m₀. Считая удар центральным и упругим, найти, какую часть своей скорости потеряет нейтрон при ударе.

Ответ: .

18. Человек массой 60 кг, бегущий со скоростью 8 км/ч, догоняет тележку массой 80 кг, движущуюся со скоростью 2,9 км/ч и вскакивает на неё. 1) С какой скоростью станет двигаться тележка? 2) С какой скоростью будет двигаться тележка, если человек бежал ей навстречу.

Ответ: 1) υ = 1,4м/с; 2) υ = 0,48м/с.

19. Определите, во сколько раз уменьшится скорость шара, движущегося со скоростью υ₁, при его соударении с покоящимся шаром, масса которого в nраз больше массы налетающего шара. Удар считать центральным абсолютно упругим.

Ответ: .

20. Два тела массами m₁ = 2кг и m₁ = 3кг двигавшиеся со скоростями υ₁ = (3i + 4j) и υ₂ = (–2i + 3j) относительно некоторой ИСО, сталкиваются абсолютно неупруго. Определить их скорость υ после удара. Действием других тел пренебречь.

Ответ: м/с.

21*. Ракета движется в инерциальной К-системе отсчёта в отсутствие внешнего поля, причём так, что газовая струя вылетает с постоянной скоростью u относительно ракеты. Найти зависимость скорости υ ракеты от её массы m, если в момент старта её масса равна m₀.

Ответ: .

22*. Частица движется с импульсом p(t) под действием силы F(t). Пусть а и постоянные векторы, причём . Полагая, что 1) p(t) = a + t(1 – at)b, где а - положительная постоянная, найти вектор F в те моменты времени, когда ; 2) F(t) = a +2tb и p(0) = p₀, где p₀ - вектор, противоположный по направлению вектору а, найти вектор p в момент , когда он окажется повёрнутым на 90⁰ по отношению к вектору .

Ответ: 1) F₁ = b, F₂ = – b; 2)

23*. Орудие массы m соскальзывает по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. В момент, когда скорость орудия оказалась υ, произвели выстрел, в результате которого орудие остановилось, а вылетевший в горизонтальном направлении снаряд «унёс» импульс p. Пусть продолжительность выстрела равна τ. Найти среднее за это время значение силы реакции N со стороны наклонной плоскости.

Ответ: .

24. Две тележки, каждая массы M, движутся друг за другом по инерции (без трения) с одинаковой скоростью υ₀. На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Какой стала скорость передней тележки?

Ответ: .

25. Железнодорожная платформа в момент t = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы тяги F. Пренебрегая трением в осях, найти зависимость от времени скорости платформы υ(t), если:

1) платформа нагружена песком, который высыпается через отверстие в её дне с постоянной скоростью μ (кг/с), а в момент t = 0 масса платформы с песком равна m₀;

2) на платформу, масса которой m₀, в момент t = 0 начинает высыпаться песок из неподвижного бункера так, что скорость погрузки постоянна и равна μ (кг/с).

Ответ: ^.

26. Ракета поддерживается в воздухе на постоянной высоте, выбрасывая вертикально вниз струю газа со скоростью u. Найти:

1) сколько времени ракета сможет оставаться на этой высоте, если начальная масса топлива составляет n-ю часть её массы (без топлива);

2) какую массу μ(t) газов должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться на постоянной высоте, если начальная масса ракеты (с топливом) равна m₀.

Ответ: 1) , где ; 2) .

27. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначальная масса ракеты (с топливом) равна m₀. Скорость газовой струи постоянна и равна u относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость υ ракеты в зависимости от её массы m и времени подъёма t.

Ответ: .

28. Космический корабль массы m₀ движется в отсутствие внешнего силового поля с постоянной скоростью υ₀. Для изменения направления движения был включен реактивный двигатель, который стал выбрасывать струю газа с постоянной относительно корабля скоростью u, причём вектор u всё время перпендикулярен направлению движения корабля. В конце работы двигателя масса корабля стала равной m. На какой угол изменилось направление движения корабля за время работы двигателя?

Ответ: .

29. Ракета попала в пылевое облако. Пылинки оказались липкими и соударялись с ракетой неупруго. Чтобы скорость движения υ относительно облака не падала, пришлось включить двигатель, развивающий силу тяги F. Как нужно изменить силу тяги двигателя, чтобы: а) двигаться со скоростью 2υ; б) сохранить скорость υ неизменной при попадании в область, где концентрация частиц (число частиц в единице объёма) в три раза больше?

Ответ: F = nmυ²S. Мы видим, что F пропорциональна концентрации частиц и квадрату скорости. Итак: чтобы двигаться вдвое быстрее, силу тяги надо увеличить в 4 раза; в более плотной части облака силу тяги надо увеличить в 3 раза.

30. Пуля вылетает из винтовки в горизонтальном направлении со скоростью u₁ = 800м/с. Какова скорость винтовки при отдаче, если её масса в 400 раз больше массы пули?

Ответ: u_2x = – 2м/с.

31. В результате взрыва камень разлетелся на три части. Два куска летят под прямым углом друг к другу: кусок массой m₁ = 1кг – со скоростью υ₁ = 12м/с, кусок массой m₂ = 2кг – со скоростью υ₂ = 8м/с. Третий кусок отлетает со скоростью υ₃ = 40м/с. Какова его масса и в каком направлении он летит?

Ответ: m₃ = 0,5кг; α = 53⁰.

32. Груз массой m₁ соскальзывает без трения с наклонной доски на неподвижную платформу. С какой скоростью начнёт двигаться платформа, когда груз упадёт на неё? Масса платформы m₂, высота начального положения груза над уровнем платформы h, угол наклона доски к горизонту α. Трение отсутствует.

Ответ: .

33. Тележка с песком катится со скоростью υ₁ = 1м/с по горизонтальной поверхности. Навстречу тележке летит шар массой m = 3кг со скоростью υ₂ = 8м/с, направленный под углом α = 60⁰ к горизонту. После встречи с тележкой шар застревает в песке. С какой скоростью и в какую сторону покатится тележка после встречи с шаром? Масса тележки с песком M = 10кг. Силой сопротивления качению тележки можно пренебречь.

Ответ: u_x = – 0,2м/с.

34. Две небольшие шайбы, массы которых m₁ и m₂, связаны между собой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент скорость одной шайбы равна нулю, а другой – υ, причём её направление перпендикулярно нити (рис. 6.7). Найти силу натяжения нити в процессе движения.

Ответ: .