Задачи для самостоятельного решения.

1. Самолёт летит относительно воздуха со скоростью υ₀ = 800км/ч. Ветер дует с запада на восток со скоростью u = 15м/с. С какой скоростью υ будет двигаться самолёт относительно Земли и под каким углом α к меридиану надо держать курс, чтобы перемещение было: а) на юг; б) на север; в) на запад; г) на восток?

Ответ: а) υ_a = 221,7м/с, α = 3,84⁰; б) υ_б =221,7м/с, α = 3,84⁰;

в) υ_в = 207,2м/с. Курс запад; г) υ_г = 237,2м/с. Курс восток.

2. Самолёт летит от пункта А до пункта В, расположенного на расстоянии l = 300 км к востоку. Найти продолжительность t полёта, если: а). ветра нет; б). ветер дует с юга на север; в). ветер дует с запада на восток. Скорость ветра u = 20м/с. Скорость самолёта относительно воздуха υ₀ = 600км/ч.

Ответ: а) t = 1800с; б) t = 1814,4с; в) t = 1607с.

3. Лодка движется перпендикулярно к берегу со скоростью υ = 7,2км/ч. Течение относит её на расстояние расстоянии l = 150м вниз по течению. Найти скорость течения реки и время t, затраченное на переправу через реку. Ширина реки L = 0,5км.

Ответ: u = 0,6м/с; t = 250с.

4. Скорость течения реки υ = 3 км/ч, а скорость движения лодки относительно воды υ₁ = 6 км/ч. Определите, под каким углом относительно берега должна двигаться лодка, чтобы проплыть поперек реки.

Ответ: α = 60⁰.

5. Капля дождя при скорости ветра υ₁ = 11м/с падает под углом α = 30⁰ к вертикали. Определите при какой скорости ветра υ₂ капля будет падать под углом β = 45⁰.

Ответ: υ₂ = 19м/с.

6. От буксира, идущего против течения реки, оторва­лась лодка. В тот момент, когда на буксире заметили лодку, она находилась от него на достаточно большом расстоянии S₀. С бук­сира быстро спустили катер, который доплыл до лодки и возвра­тился с нею назад. Сколько времени заняла поездка катера, и какое расстояние он проплыл в одну и другую сторону, если скорости катера и буксира относительно воды равны соответ­ственно υ₁ и υ₂?

Ответ: .

7. На одной из двух параллельных взлётно-посадочных полос самолёт, двигаясь со скоростью под углом α к линии горизонта, совершает посадку, а на второй – другой самолёт взлетает со скоростью под углом β к линии горизонта. Какова (по модулю) скорость второго самолёта относительно первого?

Ответ: .

8. Человек делал пробежку вдоль железной дороги. Навстречу ему промчались два поезда – один через 6 мин после другого. Известно, что оба идут со скоростью u = 60 км/ч, причём второй поезд отправился со станции через τ = 10мин после первого. Определите скорость человека.

Ответ: υ = 11,1м/с.

9. Самолёт летит от пункта А до пункта В и обратно со скоростью υ = 390 км/ч относительно воздуха. Пункты А и В находятся на расстоянии S = 1080 км друг от друга. Сколько времени потратит самолёт на весь полёт, если на трассе полёта непрерывно дует ураганный ветер со скоростью u = 150 км/ч? Рассмотрите два случая: а) ветер дует вдоль прямой АВ; б)ветер дует под прямым углом к прямой АВ.

Ответ: а) t₁ = 23416 с = 6,5 ч; б) t₁ = 21600с = 6 ч.

1 0. Два автомобиля двигались с постоянными скоростями υ₁ и υ₂ по дорогам, пересекающимся под прямым углом. Когда первый из них достиг перекрестка, второму оставалось проехать до этого места расстояние l. Спустя какое время t расстояние между автомобилями будет наименьшим? Чему равно это расстояние S_min?

Ответ: ; .

11. Между пунктами А и В, находящимися на противоположных берегах реки, курсирует катер. При этом он всё время находится на прямой АВ (рис. 1.8). Точки А и В находятся на расстоянии S = 1200м друг от друга. Скорость течения реки u = 1,9 м/с. Прямая АВ составляет с направлением течения реки угол α = 60⁰. С какой скоростью относительно воды и под какими углами β₁ и β₂ к прямой АВ должен двигаться катер в обе стороны, чтобы пройти из А в В и обратно за время t = 5мин?

Ответ: υ = 8,3 м/с; β₁ = β₂ = 11,5⁰.

12. От пристани А к пристани В по реке плывёт лодка со скоростью υ₁ = 3 км/ч относительно воды. От пристани В по направлению к пристани А одновременно с лодкой отходит катер, скорость которого относительно воды υ₂ = 10 км/ч. За время движения лодки между пристанями катер успевает пройти это расстояние четыре раза и прибывает к В одновременно с лодкой. Определите направление и скорость течения реки.

Ответ: u = 0,51 км/ч.

13*. Частице в момент t = 0 сообщили скорость υ₀, после чего ее скорость стала меняться со временем t по закону , где τ - положительная постоянная. Найти за первые t секунд движения: 1) вектор перемещения Δr частицы; 2) пройденный ею путь S.

Ответ: ;

14*. Частица движется в плоскостях x, y из точки с координа­тами x = y = 0 со скоростью , где а и b- некоторые по­стоянные, i и j - орты осей х и у. Найти уравнение ее траектории y(x).

Ответ: - парабола.

15. Закон движения точки А обода колеса, катящегося равно­мерно по горизонтальному пути (ось х), имеет вид: , где b и ω- положительные постоянные. Найти скорость υ точки А, путь S, пройденный ею между двумя последовательными касаниями полотна дороги, а также модуль и направление вектора ускорения а точки А.

Ответ: a = bω².

16. Точка движется по плоской траектории так, что ее тангенциальное ускорение a_τ = a₀, а нормальное ускорение a_n = bt⁴, где a₀ и b - положительные постоянные, t - время. В момент t = 0 точка на­чала двигаться с нулевой начальной скоростью. Найти радиус кри­визны r траектории точки и ее полное ускорение a в зависимости от пройденного пути S.

Ответ: ; .

17*. Частица движется равномерно со скоростью υ по парабо­лической траектории y = kx², где k - положительная постоянная. Найти ускорение а частицы в точке x = 0.

Ответ: a = 2k υ².

18. Определите скорость υ и ускорение a точек земной поверхности в Харькове за счёт суточного вращения Земли. Географические координаты Харькова: северной широты, восточной долготы. Радиус Земли R = 6400 км.

Ответ: υ = 300м/с; a = 2,2 см/с².

19. Движение двух материальных точек выражается уравнениями = 20 + 2 t – 4 и = 2 + 2 t + 0,5 . В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

Ответ: t = 0; υ = 2м/с; a₁ = -8 м/с ²; a₁ = 1 м/с ².

20. Скорость частицы, движущейся по прямой, изменяется по закону

= 15 + 4 t + 8 . Определить путь S, который пройдёт частица за время t = 2 с.

Ответ: S = 64 м.

21. Движение точки по прямой задано уравнением x = 2 t - . Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени от t₁ = 1 c до t₂ = 3 с.

Ответ: < υ > = 0,5м/с.

22. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени задана уравнением S = 0,1t³см. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна υ = 0,3 м/с.

Ответ: м/с ²; м/с ².

23. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м согласно уравнению S = 2t³. В какой момент времени t нормальное ускорение a_n точки будет равно тангенциальному a_τ? Чему равно полное ускорение а в этот момент времени?

Ответ: t = 0,87с; a = 14,67м/с ².

24. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени задана уравнением S = 20 – 2t + t² м. Найти линейную скорость точки, её тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 3 с после начала движения, если нормальное ускорение через 2 с было 0,5 м/с².

Ответ: υ = 4 м/с; a_n = 2 м/с ²; a_τ = 2 м/с ²; a = 2,83 м/с ².

25. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом r = 4 м, задается уравнением a_n = A + Bt + Ct² (A = 1м/с², B = 6м/с³, C = 9м/с⁴). Определите: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время t₁ = 5с после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени t₂ = 1с.

Ответ: S = 85м; a_τ = 6 м/с²; a = 17,1м/с².

26. Точка движется в плоскости xy из положения с координатами x₁ = y₁ = 0 со скоростью υ = ai + bxj (a, b- постоянные, i, j - орты осей х и у). Определите: 1) уравнение траектории точки y(x); 2) форму траектории.

Ответ: - уравнение параболы.

27. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = t³i + 3t²j, где i, j - орты осей х и у. Определите для момента времени t = 1 с: 1) модуль скорости; 2) модуль ускорения.

Ответ: υ = 6,7м/с; a = 8,48 м/с².

28. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону r = 4t²i + 3tj + 2k. Определите скорость υ, ускорение a и модуль скорости в момент времени t = 2 с.

Ответ: υ = 8ti + 3j; a = 8i; υ₁ = 16,3м/с.

29. Материальная точка движется по закону , где α = 2м, β = 3м. Определите вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения материальной точки.

Ответ: ; ; .

30*. Скорость материальной точки изменяется по закону , где α = 1м/с⁴, β = 1с³, γ = 1м/с. Определить закон движения, если в начальный момент времени t = 0 тело находилось в начале координат, т.е. .

Ответ:

31. Ускорение материальной точки изменяется по закону a = αt²i + βj, где α = 3м/с⁴, β = 3м/с². Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент времени t = 1с, если υ₀ = 0 и r₀ = 0 при t = 0.

Ответ: м.