Задачи для самостоятельного решения.

1. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через 2 с камень упал на землю на расстоянии 40 м от основания вышки. Определить начальную и конечную скорости камня.

Ответ: υ₀ = 20м/с; υ = 28м/с.

2. Пуля пущена с начальной скоростью υ₀ = 200м/с под углом φ = 60⁰ к плоскости горизонта. Определить наибольшую высоту подъёма Н, дальность полёта S и радиус кривизны траектории R пули в её наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: R = 1020м; S = 3535м; H = 1530м.

3. Тело брошено под углом α к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность полёта S в 4 раза больше максимальной высоты подъёма Н.

Ответ: α = 45⁰.

4. Снаряд, выпущенный из орудия с начальной скоростью υ₀ под углом α = 30⁰ к горизонту, попал в цель, находящуюся от орудия на расстоянии l = 100м (по горизонтали). Найти начальную скорость снаряда, если ОА образует с горизонтом угол β = 10⁰.

Ответ: υ₀ = 40м/с.

5. С башни высотой h = 25м в горизонтальном направлении брошен камень со скоростью υ_x = 15м/с. Какое время камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадёт на землю? С какой скоростью υ он упадёт на Землю? Какой угол φ составит траектория камня с горизонтом в точке его падения?

Ответ: t = 2,26с; l = 33,9м; υ = 26,75м/с; φ ≈ 56⁰.

6. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии l = 5м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на Δh = 1м меньше высоты h, с которой брошен мяч. С какой скоростью υ_x брошен мяч? Под каким углом φ мяч подлетает к поверхности стенки?

Ответ: υ_x = 11,1м/с; φ ≈ 68⁰.

7. Камень, брошенный горизонтально, через время t = 0,5с после начала движения имел скорость υ в 1,5 раза большую скорости в момент бросания. С какой скоростью υ_x был брошен камень?

Ответ: υ_x = 4,47м/с.

8. Камень брошен горизонтально со скоростью υ_x = 15м/с. Найти нормальное a_n и тангенциальное a_τ ускорения через время t = 1с после начала движения.

Ответ: a_n ≈ 8,2 м/с²; a_τ ≈ 5,4 м/с².

9. Камень брошен горизонтально со скоростью υ_x = 10м/с. Найти радиус кривизны траектории R через время t = 3с после начала движения.

Ответ: R = 305м.

10. Под углом α = 60⁰ к горизонту брошено тело с начальной скоростью υ₀ = 20м/с. Через какое время t оно будет двигаться под углом β = 45⁰к горизонту?

Ответ: t₁ = 0,75c; : t₂ = 2,8с.

11. Из шланга, лежащего на земле, бъёт под углом α = 45⁰ к горизонту вода с начальной скоростью υ₀ = 10м/с. Площадь сечения отверстия шланга S = 5см². Определите массу m струи, находящейся в воздухе.

Ответ: m = 7,2кг.

12. Мяч брошен со скоростью υ₀ = 10м /с под углом α = 40⁰ к горизонту. На какую высоту h поднимется мяч? На каком расстоянии l от места бросания он упадёт на Землю? Какое время t он будет в движении?

Ответ: h ≈ 2м; t ≈ 1,3с; l ≈ 10м.

13. На спортивных состязаниях в Ленинграде спортсмен толкнул ядро на расстояние l₁ = 16,2м. На какое расстояние l₂ полетит такое же ядро в Ташкенте при той же начальной скорости и при том же угле наклона его к горизонту? Ускорение свободного падения в Ленинграде g₁ = 9,819 м/с², в Ташкенте g₂ = 9,801 м/с².

Ответ: l₂ = 16,23м.

14. Тело брошено со скоростью υ₀ под углом к горизонту. Время полёта t = 2,2с. На какую высоту h поднимется тело?

Ответ: h = 5,9м.

15. Камень, брошенный со скоростью υ₀ = 12 м/с под углом к горизонту α = 45⁰, упал на землю на расстоянии l от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости он упал на то же место?

Ответ: h = 7,3м.

16. Тело брошено со скоростью υ₀ = 14,7 м/с под углом к горизонту α = 30⁰. Найти нормальное a_n и тангенциальное a_τ ускорения через время t = 1,25с после начала движения.

Ответ: a_n = 9,15 м/с²; a_τ = 3,52 м/с².

17. Тело брошено со скоростью υ₀ = 10 м/с под углом к горизонту α = 45⁰. Найти радиус кривизны R траектории тела через время t = 1с после начала движения.

Ответ: R ≈ 6,3м.

18. Тело брошено со скоростью υ₀ под углом α к горизонту. Найти скорость υ₀ и угол α, если известно, что высота подъёма h = 3м и радиус кривизны траектории в верхней точке R = 3м.

Ответ: υ₀ = 9,35м/c; α ≈ 60⁰30^’.

19. Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максимальная высота подъёма (S - дальность полёта). Пренебрегая сопротивлением воздуха определить угол броска к горизонту.

Ответ: α = 45⁰.

20. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t = 0,1с?

Ответ: h = 5,6м.

21. Камень падает с высоты h = 1200м. Какой путь пройдёт камень за последнюю секунду своего падения?

Ответ: h’ = 150м.

22. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте 8,6м два раза с интервалом 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

Ответ: υ₀ ≈ 20м/с.

23. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью υ₀ = 5м/с. Через 2 с мячик упал на землю. Определить высоту h балкона над землёй и скорость мячика в момент удара о землю.

Ответ: h = 9,6м; υ ≈ - 15 м/с.

24. Ракета стартует с поверхности Земли вертикально вверх с ускорением a = αt², где  = 1 м/с⁴. На высоте h₀ = 100 км от Земли двигатели ракеты выходят из строя. Через сколько времени (считая момент выхода двигателей из строя) ракета упадёт на Землю? Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Начальная скорость ракеты υ₀ = 0.

Ответ: υ ≈ 12,1км/с, ракета на Землю не вернётся, так как скорость намного превышает первую космическую, при которой происходит выход ракеты на околоземную орбиту.

25. На листе бумаги начерчен прямой угол. Линейка, оставаясь, всё время перпендикулярной биссектрисе этого угла, движется по бумаги со скоростью 10 см/с. Концы линейки пересекают стороны начерченного угла. С какой скоростью движутся по сторонам угла точки их пересечения с линейкой.

Ответ: υ₁ = υ₂ = 14,1 см/с.

26. Найти угловое ускорение колеса, если через t = 2с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол α = 60⁰ с направлением линейной скорости этой точки.

Ответ: ε ≈ 0,43рад/с².

27. Диск радиусом 10 см начал вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε = 0,5 рад/с². Каковы были тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения?

Ответ: a_τ = 0,05м/с ²; a_n = 0,1м/с ²; a = 0,11м/с ².

28. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска υ₁ = 3 м/с. Точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость υ₂ = 2 м/с. Сколько оборотов в секунду делает диск?

Ответ: v = 1,59об/с.

29. Найти радиус вращающегося колеса, если линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

Овеет: R = 0,083м.

30. Шкив радиусом 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением a = 2см/с². Какова угловая скорость  шкива в тот момент, когда груз пройдёт путь 1 м? Каково ускорение точек, лежащих на ободе шкива в этот момент?

Ответ:  = 1рад/с; а = 0,2 м/с ².

31. Колесо радиусом 0,1 м вращается вокруг оси по закону φ = 4 + 2t + t³ рад. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения угловую скорость, линейную скорость, угловое ускорение, тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

Ответ:  = 14рад/с; υ = 1,4м/с; ε = 12рад/с ²; a_n = 19,6м/с ²;

a_τ = 1,2м/с ²; а = 20м/с ².

32. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени задаётся уравнением υ = 3t + t² см/с. Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 с после начала движения.

Ответ: ; α = 90⁰; 72⁰; 35⁰; 15,5⁰; 8⁰; 4,5⁰.

33. Диск радиусом R = 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением φ = A + Bt + Ct² + Dt³ (B = 1рад/с, C = 1рад/с², D = 1рад/с³). Определите для точек на ободе диска к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение a_τ; 2) нормальное ускорение a_n; 3) полное ускорение а.

Ответ: a_τ =1,4м/с²; a_n = 28,9 м/с²; a = 28,9м/с².

34. Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = A + Bt³ (A = 2рад, B = 4рад/с³). Определите для точек на ободе колеса: 1) нормальное ускорение a_n в момент времени t = 2 с; 2) тангенциальное ускорение для этого же момента; 3) угол поворота φ, при котором полное ускорение составляет с радиусом колеса угол α = 45⁰.

Ответ: a_τ = 4,8м/с²; a_n = 230,4 м/с²; φ = 2,67рад.

35. Трактор движется со скоростью υ = 36 км/ч. С какой скоростью (рис. 2.4) движутся относительно Земли: а) точка А на нижней части гусениц; б) точка В на верхней части гусениц; в) точка С?

Ответ: υ_A = 0; υ_B = 20м/с; υ_C = 14,1м/с.

Занятие 3.

КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ: ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ, ВРАЩЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ, НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ.

Учебная цель: научиться применять законы кинематики твёрдого тела к различным видам движения. Выработать навыки самостоятельного решения задач на данную тему.

Литература

Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высшая школа, 1989. - Гл. 1, § 1.5.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1987. - Т. 1, гл. 1, § 7 – 10.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Дайте определение свободного движения (переносного и относительного) твёрдого тела.

2. Приведите пример плоского или плоскопараллельного движения твёрдого тела.

3. Что называется поступательным движением твердого тела? Приведите примеры.

4. Что называется вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси?

5. Приведите примеры движения тела с одной неподвижной точкой.

6. Дайте определение, расчетные формулы и единицы измерения угловых кинематических параметров.

7. Дайте определение, расчетные формулы и единицы измерения угловых кинематических параметров.

8. Напишите формулы связи между угловыми и линейными кинематическими параметрами.