Задачи для самостоятельного решения.

1. Небольшая муфта массы m свободно скользит по гладкому горизонтальному стержню, который вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси, прохо­дящей через один из его концов. Найти горизонтальную составляю­щую силы, действующей на муфту со стороны стержня в момент, ког­да она находится на расстоянии r от оси вращения. (В начальный момент муфта находилась непосредственно около оси и имела пре­небрежимо малую скорость.)

Ответ: F = 2mω[ωr].

2. Какой угол α с горизонтом составляет поверхность бензина в баке автомобиля, движущегося горизонтально с ускорением a = 2,44м/с²?

Ответ: α ≈ 14⁰.

3. Шар на нити подвешен к потолку трамвайного вагона. Вагон тормозится и его скорость за время t = 3с равномерно уменьшается от υ₁ = 18км/ч до υ₂ = 6км/ч. На какой угол при этом отклонится нить с шаром.

Ответ: α = 6⁰30’.

4. В вагоне, движущемся горизонтально с ускорением a = 2м/с ², висит на шнуре груз массой 200 г. Найти силу натяжения шнура и угол α отклонения шнура от вертикали.

Ответ: T = 2Н; α = 11,5⁰.

5. Железнодорожный вагон тормозится и его скорость равномерно изменяется за время Δt = 3,33с от υ₁ = 47,5км/ч до υ₂ = 30км/ч. При каком предельном значении коэффициента трения между чемоданом и полкой чемодан при торможении начнёт скользить по полке?

Ответ: μ = 0,15.

6. Система грузов массами m₁ = 0,5кг и m₂ = 0,6кг находится в лифте, движущемся вверх с ускорением a = 4,9м/с². Определите силу натяжения нити, если коэффициент трения между грузом массы m₁ и опорой μ = 0,1.

Ответ: T = 4,41Н.

7. На тележке стоит сосуд с водой. Тележка движется горизонтально с ускорением а. Определите форму поверхности воды в сосуде.

Ответ: С горизонтальной плоскостью она образует угол .

8 . Плоскую жёсткую спираль из гладкой проволоки, расположенную в горизонтальной плоскости, вращают с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси О (рис. 10.5). По спирали скользит небольшая муфта M. Найти её скорость υ' относительно спирали как функцию расстояния ρ от оси вращения О, если муфта начала двигаться от этой оси со скоростью υ₀'.

Ответ: .

9. При какой угловой скорости вращения звезды с её экватора начнёт истекать вещество? Для расчёта воспользоваться системой отсчёта, связанной с вращающейся звездой.

Ответ: .

10. Диск совершает 70 об/мин. Где можно положить на диск тело, чтобы оно не соскользнуло? Коэффициент трения покоя тела о диск μ_пок = 0,44. Задачу решить во вращающейся системе отсчёта, связанной с диском.

Ответ: r ≤ 3,68м.

11. В аттракционе «мотоциклетные гонки на вертикальной стене» трек представляет собой вертикальную цилиндрическую поверхность диаметром 18 м. С какой скоростью должен двигаться мотоциклист, чтобы не соскальзывать с трека? Коэффициент трения μ ≤ 0,8. Решить задачу, воспользовавшись вращающейся системой отсчёта.

Ответ: υ ≥ 14,85м/с.

1 2. Найти период обращения конического математического маятника, нить которого длиной l составляет угол α с вертикалью (рис. 10.6). Решить задачу, воспользовавшись вращающейся системой отсчёта.

Ответ: .

1 3. Недеформированная пружина с жёсткостью k имеет длину l₀. При вращении системы (рис. 10.7) с угловой скоростью ω груз массой m растягивает пружину. Найти длину l пружины при вращении. Решить задачу, воспользовавшись вращающейся системой отсчёта.

Ответ: .

14*. По гладким горизонтальным рельсам движется плат­форма массой М со скоростью υ. На передний край платформы кладут аккуратно (т. е. без толчка) груз массой m. Коэффициент трения между этим грузом и платформой равен μ. При какой минимальной длине l платформы груз не упадет с нее?

Ответ: .

15*. Тонкий однородный стержень длиной l, могущий свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, про­ходящей через один из его концов, находится в вагоне. Вагон начинает двигаться горизонтально с ускорением a₀, направленным нормально к оси вращения стержня. На какой максимальный угол от вертикали отклонится стержень в начале? Каков будет период его колебаний относительно положения равновесия при небольших отклонениях?

Ответ: ; .

16. На центробежной машине укреплен гладкий гори­зонтальный стержень длиной 2l₀ = 1м, ось вращения вертикальна и проходит через середину стержня. На стержень надеты две небольшие муфты массой m = 400г каждая. Муфты связаны нитью длиной 2l₁ = 20см и расположены симметрично относительно оси вращения. С какой радиальной скоростью подойдут муфты к кон­цу стержня, если пережечь нить? Рассмотрите 2 случая: 1) машина вращается с постоянной угловой скоростью ω₁ = 2 рад/сек; 2) до пережигания нити мотор отклю­чается и система предоставляется сама себе. Момент инерции станины машины и стержня J₀ = 0,02кг^.м².

Ответ: 1) υ’ = 0,98м/с; 2) υ’ = 0,46м/с.

17. Доказать, что во вращающемся сосуде поверхность жидкости имеет форму параболоида вращения.

Ответ: .

18. К потолку вагона, движущегося в горизонтальном направлении с ускорением a = 9,81м/с², подвешен на нити шарик массой m = 200г. Определите для установившегося движения: 1) силу натяжения нити T; 2) угол φ отклонения нити от вертикали.

Ответ: T = 2,77; φ = 45⁰.

19. Вагон под действием силы тяжести катится вдоль дороги, составляющей угол α = 30⁰ с горизонтом. Сила трения составляет η = 10% от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой m = 15г. Определите: 1) силу F, действующую на нить; 2) угол φ отклонения нити от вертикали.

Ответ: F = 0,128H; φ = 23,5⁰.

20. На наклонной плоскости с углом наклона α = 30⁰ лежит тело. Коэффициент трения между наклонной плоскостью и телом μ = 0,2. Определите наименьшее горизонтально направленное ускорение а, с которым должна двигаться наклонная плоскость, чтобы тело, лежащее на ней, поднималось по наклонной плоскости.

Ответ: a = 8,62 м/с².

21. Самолёт, летящий со скоростью υ = 360км/ч, описывает вертикальную петлю Нестерова радиусом R = 360м. Определите силу, прижимающую лётчика (m = 80кг) к сиденью: 1) в нижней точке этой петли; 2) в верхней точке этой петли.

Ответ: F₁ = 3 кН; F₁ = 1,44 кН.

22. Определите, во сколько раз ускорение a₁, обусловленное центробежной силой на экваторе Земли, меньше ускорения a₂, вызываемого силой тяготения на поверхности Земли.

Ответ:

23. Тело массой m = 1кг, падая свободно в течение t = 4с, попадает на Землю в точку с географической широтой φ = 45⁰. Учитывая вращение Земли, определите и нарисуйте все силы, действующие на тело в момент его падения на Землю.

Ответ: F_m = 9,83Н; F_u = 23,8 мH; F_k = 4,04 мH.

24. Тело массой m = 1кг , падая свободно в течение t = 6с, попадает на Землю в точку с географической широтой φ = 30⁰. Учитывая вращение Земли, определите отклонение тела при его падении от вертикали.

Ответ: S = 4,45см.

25. На гладком клине массой m₂ = 10кг расположена материальная точка массой m₁ = 1кг. Клин может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности. Угол у основания клина α₁ = 30⁰. Определить ускорение тела и клина.

Ответ: a₁ ≈ 5,25м/с²; a₂ ≈ 0,41м/с².