Занятие 7. Динамика вращательного движения твёрдого тела. Динамика плоского движения твёрдого тела.

Учебная цель: добиться понимания физической сущности момента инерции, момента силы, основного уравнения динамики вращательного движения. Привить навыки самостоятельного решения задач по данной теме.

Литература

Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. – Гл. 4, § 4.1 – 4.3.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1987. – Т. 1, гл. 5, § 36 – 40.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Какое движение твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется вращательным?

2. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения?

3. Дайте физическое толкование момента инерции тела. От чего он зависит? Единица измерения.

4. Что называется моментом силы относительно оси вращения? Как определить направление момента силы?

5. Запишите и сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения.

6. Как определяется кинетическая энергия вращения?

7. Дайте понятие тензора инерции. Необходимость введения этого понятия.

8. Что такое главная ось инерции.

О сновные определения и формулы

Моментом силы относительно оси называется векторное произведение радиуса – вектора , проведённого из точки О в точку приложения силы , на вектор силы:

Момент силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат и . Направление этого вектора таково, что, смотря из его конца, вращение, вызываемое соответствующей силой, должно происходить против часовой стрелки (правило правого винта – обхвата правой руки).

Момент силы численно равен M = Fr sinα = Fl = rF_τ, где r sin = l – плечо силы относительно точки О, т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки О (рис. 7.1) на линию действия силы,  = ( ^ ); F_ - проекция силы на касательную к окружности, по которой движется точка приложения силы.

Если на вращающееся тело действует несколько сил, то результирующий, или главный момент всех внешних сил равен векторной сумме моментов сил, действующих на тело:

. (7.1)

Основным уравнением динамики вращательного движения является второй закон Ньютона.

Угловое ускорение, полученное вращающимся телом, прямо пропорционально суммарному (главному) моменту сил, действующих на это тело относительно оси вращения, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно этой же оси вращения:

(7.2)

где J – момент инерции тела относительно оси вращения;  - угловое ускорение.

Момент инерции твёрдого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, составляющих это тело:

кг·м², (7.3)

где m_i – масса материальной точки; r_i – радиус вращения материальной точки.

Момент инерции тела характеризует инертность тела к изменению им угловой скорости под действием вращающего момента; момент инерции зависит от массы тела и её распределения относительно данной оси вращения.

Моменты инерции некоторых однородных тел вращения относительно заданных осей вращения приведены в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R Сплошной цилиндр или диск радиуса R Шар радиуса R Сфера радиуса R Прямой тонкий стержень длиной Прямой тонкий стержень длиной Кольцо Прямоугольная пластина со сторонами а и b	Ось симметрии Ось симметрии Ось проходит через центр шара Ось проходит через центр сферы Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец Ось симметрии Ось в центре пластины

Момент инерции J тела относительно любой оси вращения и момент инерции J₀ тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр инерции тела, связаны соотношением (теорема Штейнера)

J = J₀ + m d ², (7.4)

где m – масса тела; d – расстояние между осями.

Моментом импульса материальной точки (или момент количества движения) относительно точки 0 называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора материальной точки, проведенного из точки 0, на импульс этой материальной точки (определение касается и системы материальных точек):

_(7.5)

Момент импульса тела может быть определён как

(7.6)

Вторая формулировка основного закона динамики вращательного движения: скорость изменения момента импульса равна суммарному моменту сил, действующих на тело.

(7.7)

Кинетическая энергия при вращательном движении определяется по формуле

(7.8)

Формула (7.9) определяет 9 компонент так называемого тензора инерции твёрдого тела относительно точки О:

(7.9)

С амое главное заключается в следующем. Девять величин (из них шесть независимых) определяют однозначную связь между L и ω, причём оказывается, что L, вообще говоря не совпадает по направлению с ω (рис. 7.2)

Если для задания скалярной величины необходимо одно число (значение скалярной величины), векторной – три числа (три проекции вектора на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем случае 9 чисел.

Необходимость введения тензорных величин связана с различного рода анизотропией свойств физических макроскопических объектов. Тензор связывает две векторные величины, которые пропорциональны друг другу по модулю, но в силу анизотропии свойств объекта не совпадают друг с другом по направлению. В случае L и ω решающую роль играет «анизотропия» формы тела.

Для всякого тела и любой точки О имеются по крайней мере три взаимно перпендикулярных направления ω (или, другими словами, три взаимно перпендикулярных оси вращения), для которых направления L и ω совпадают. Такие оси называются главными осями инерции тела.