Подставив числовые значения, получим

υ = 2 ∙ 3,14 ∙ 0,1 ∙ 1,5 = 0,94 м/с ≈ 1 м/с.

Ответ: υ ≈ 1 м/с; v₂ = 0,1 об/с.

3. Волчок массы m, ось которого составляет угол с вертикалью, прецессирует вокруг вертикальной оси, проходящей через точку опоры О. Момент импульса волчка равен L, расстояние от его центра масс до точки О есть l. Найти модуль и направление вектора F - горизонтальной составляющей силы реакции в точке О.

Р ешение.

У гловая скорость прецессии

.

Центр масс волчка движется по окружности; следовательно, вектор F направлен так, как показано на рисунке 8.5 (этот вектор поворачивается вместе с осью волчка).

Из уравнения движения центра масс получаем:

В результате

.

Заметим, что если бы точка опоры волчка находилась на абсолютно гладкой плоскости, то волчок прецессировал бы с той же угловой скоростью, но вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс волчка – точку С на рисунке.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

1. Доказать, что полная механическая энергия планеты, движущейся вокруг Солнца по эллипсу, зависит только от его большой полуоси а. Найти выражение для величины W энергии, если известны масса планеты и M Солнца, а также большая полуось а эллипса.

Ответ: .

2 . Частица 1 массы m₁ налетает на частицу 2 массы m₂, имея вдали от частицы 2 кинетическую энергию W₀ и прицельный параметр l - плечо вектора импульса относительно частицы 2 (рис. 8.6). Заряд каждой частицы равен q. Найти наименьшее расстояние, на которое сблизятся частицы, если: 1) m₁ << m₂; 2) m₁ сравнимо с m₂.

Ответ: .

3. Небольшой шарик подвесили к точке О на лёгкой нерастяжимой нити длиной l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол от вертикали, и сообщили ему начальную скорость υ₀ перпендикулярно вертикальной плоскости, в которой расположена нить. При каком значении υ₀ максимальный угол отклонения нити от вертикали окажется равным π/2?

Ответ: .

4 . На жёстком проволочном полукольце радиуса r₀, которое может свободно вращаться вокруг вертикальной оси АВ (рис. 8.7), находятся две одинаковые небольшие муфточки. Их соединили нитью и установили в положении 1 – 1 . Затем всей установке сообщили угловую скорость ω₀ и, предоставив её самой себе, пережгли нить в точке А. Считая, что масса установки практически сосредоточена в муфточках, найти её угловую скорость в момент, когда муфточки соскользнут (без трения) в крайнее нижнее положение 2 – 2.

Ответ: .

5 . Гладкий стержень свободно вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω₀ вокруг неподвижной вертикальной оси О (рис. 8.8), относительно которой его момент инерции равен J. На стержне около оси вращения находится небольшая муфта массы m, соединённая с этой осью нитью. После пережигания нити муфта начинает скользить вдоль стержня. Найти скорость υ’ муфты относительно стержня в зависимости от её расстояния r до оси вращения.

Ответ: .

6 . Горизонтально летевшая пуля А попала, застряв, в вертикальный однородный стержень массы m и длины l₀, верхний конец которого укреплён в шарнире О (рис. 8.9). Пуля имела импульс p и попала в стержень на расстоянии l от точки О. Пренебрегая её массой, найти:

1) приращение импульса системы пуля – стержень за время движения пули в стержне;

2) угловую скорость, которую приобретёт стержень, с учётом собственного момента импульса пули, равного и совпадающего по направлению с вектором p (пуля вращается вокруг направления её движения).

Ответ: ; .

7. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние между гирями 1,5 м. Скамья вращается с частотой v₁ = 1об/с. Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведёт человек, если он сблизит руки так, что расстояние между гирями уменьшится до 40 см? Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения J₀ = 2,5 кг·м². Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи.

Ответ: v₂ = 4,2 об/с; A = 870 Дж.

8 . На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью ω₀ = 15 c^-1. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью ω начнёт вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтальной оси на 180⁰? На 90⁰? Момент инерции человека и скамьи J = 3 кг·м², момент инерции колеса относительно своей оси J₀ = 0,5 кг·м² (рис. 8.10).

Ответ: ω = 2,5 рад/с.

9. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой скоростью начнёт вращаться платформа, если человек перейдёт в её центр? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой.

Ответ: v₂ = 22 об/мин.

10. Какую работу совершает человек при переходе от края платформы к её центру в условиях когда масса платформы 100 кг, вращающейся с частотой 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит на краю платформы. Радиус платформы равен 1,5м.

Ответ: A = 162 Дж.

11. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м вращается с частотой 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 2,94 кг ^. м ² до 0,98 кг ^. м ². Считать платформу круглым однородным диском.

Ответ: v₂ ≈ 21об/мин.

12. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом 1 м вращается с частотой 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. Во сколько раз увеличилась кинетическая энергия платформы с человеком, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 2,94 кг ^. м ² до 0,98 кг ^. м ². Считать платформу круглым однородным диском.

Ответ: .

13. Человек массой 60 кг стоит на платформе (неподвижной) массой 100 кг. Какое число оборотов в минуту будет делать платформа, если человек пойдёт вокруг оси вращения со скоростью 4 км/ч относительно платформы по окружности радиусом 5 м. Радиус платформы 10 м. Считать платформу диском, а человека – точечной массой.

Ответ: v ≈ 0,49об/мин.

14. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой m = 0,4кг, летящий в горизонтальном направлении со скоростью υ = 20м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью  начнёт вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч? Считать, что суммарный момент инерции человека и скамьи J = 6кг ^. м ².

Ответ: ω₂ = 1,023 рад/с.

15. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R = 2м, стоит человек массой 80 кг. Масса платформы 200 кг. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью ω будет вращаться платформа, если человек пойдёт вдоль её края со скоростью 2 м/с относительно платформы?

Ответ: ω₂ = 0,444рад/с.

16. Платформа в виде диска радиусом R = 1м и моментом инерции J = 120кг ^.м ² вращается по инерции, делая 6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого 80 кг. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдёт в её центр? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Ответ: v₂ = 10об/мин.

17. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения скамьи l₁ = 0,5м. Скамья вращается с частотой 1 об/с. Как изменится частота вращения скамьи, если человек сблизит руки так, что расстояние от каждой гири до оси вращения уменьшится до l₂ = 0,2м. Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения J₀ = 2,5кг ^. м ². Какую работу при этом произвёл человек?

Ответ: v₂ = 2,27об/с; A = 187,3Дж.

18. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой 1 об/с. С какой частотой будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 6 кг ^.м ². Длина стержня l = 2,4м, его масса 8 кг.

Ответ: v₂ = 3,83рад/с.

19. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамьи. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамейка неподвижна, колесо вращается, делая 10 об/с. С какой угловой скоростью будет вращаться скамейка, если человек повернёт стержень на 180 ⁰? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 6 кг ^. м ², колеса J_k = 0,06кг ^. м ².

Ответ: ω = 1,26рад/с.

20. Шарик массой m = 100г, привязанный к концу нити длиной l₁ = 1м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, делая 1 об/с. нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния l₂ = 0,5м. Трением шарика о плоскость пренебречь. 1) С какой угловой скоростью будет при этом вращаться шарик? 2) какую работу совершит внешняя сила, укорачивая нить?

Ответ: ω₂ = 25,12рад/с; A = 5,84Дж.

21. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. 1).На какой угол φ повернётся платформа, если человек пойдёт вдоль края платформы и, обойдя его, вернётся в исходную точку? Масса платформы m₁ = 240кг, масса человека m₂ = 60кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. 2).С какой угловой скоростью начнёт вращаться платформа, если её радиус 1 м, а скорость человека 2 м/с. 3). На сколько изменится кинетическая энергия платформы, если человек пойдёт вдоль края платформы?

Ответ: φ₂ = 120⁰; ω₁ ≈ 0,7рад/с; ΔW = 80Дж.

22. Фигурист вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω₁ = 2рад/с. На сколько изменится: а) его угловая скорость; б) кинетическая энергия, если человек изменит свой момент инерции от 2,5 кг ^. м ² до 1,4 кг ^. м ².

Ответ: Δω ≈ 1,6рад/с; ΔW = 4Дж.

23. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l = 2,5м и массой т = 8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладают моментом инерции J = 10 кг·м² и вращается с частотой ν₁ = 12 мин^-1. определите частоту ν ₂ вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение.

Ответ: ν ₂ = 8,5 мин^-1.

24. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

Ответ: .