Задачи для самостоятельного решения.

1 . Тело скользит сначала по наклонной плоскости, составляющей угол α = 8⁰ с горизонтом, а затем по горизонтальной поверхности. Найти, чему равен коэффициент трения, если известно, что тело проходит по горизонтали такое же расстояние, как и по наклонной плоскости (рис. 5.6).

Ответ: μ = 0,07.

2. Автомобиль массой 2 тонны движется в гору. Уклон горы равен 4 м на каждые 100м пути. Коэффициент трения равен 0,08 (рис. 5.7). Найти: а) работу, совершённую двигателем автомобиля на пути в 3км; б) мощность, развиваемую двигателем, если известно, что этот путь был пройден за 4 мин.

Ответ: A = 7 ∙ 10⁶Дж; N = 29,4кВт.

3. По желобу с высоты h (рис. 5.8) начинает скользить без трения небольшое тело (материальная точка). При каком минимальном значении высоты тело опишет полную петлю, не отделяясь от желоба? Радиус петли R.

Ответ: h = 2,5R.

4. По наклонной плоскости высотой h = 0,5м и длиной склона l = 1м скользит тело массой m = 3кг. Тело приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью υ = 2,45м/с. Найти коэффициент трения тела о плоскость и количество тепла выделенного при трении. Начальная скорость тела равна нулю.

Ответ: μ = 0,22; Q = 5,6Дж.

5. С наклонной плоскости высотой 1 м и длиной склона 10 м скользит тело массой 1 кг. Найти кинетическую энергию тела у основания плоскости, скорость тела у основания плоскости и расстояние, пройденное телом по горизонтальной части пути до остановки. Коэффициент трения на всём пути равен 0,05.

Ответ: S = 10м; W ≈ 5Дж; υ = 3,16м/с.

6. Найти, какую мощность развивает двигатель автомобиля массой 1000 кг, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км/ч: 1) по горизонтальной дороге; 2) в гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути; 3) под гору с уклоном 5 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,07.

Ответ: 1) N = 6,86 кВт; 2) N = 11,69 кВт; 3) N = 1,89 кВт.

7. Вычислить работу, совершаемую при равноускоренном подъёме груза массой 100 кг на высоту 4 м за 2 с из состояния покоя.

Ответ: A = 4720Дж.

8. На тело, двигавшееся со скоростью 2 м/с, подействовала сила 2 Н в направлении скорости. Через 10 с после начала действия силы кинетическая энергия тела 100 Дж. Найти массу тела, принимая его за материальную точку.

Ответ: m_1,2 = 26,2кг; 3,8кг.

9. Тело массой 1 кг, брошенное с вышки в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с, через 3 с упало на землю. Определить кинетическую энергию, которую имело тело в момент удара.

Ответ: W = 632Дж.

10. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наименьшую скорость он должен развить, чтобы включив мотор, проехать по треку, имеющему форму «мёртвой петли» радиусом 4 м. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: υ₀ = 14м/с.

11. Брусок скользит сначала по наклонной плоскости длиной 42 см и высотой 7 см, а потом по горизонтальной плоскости, после чего останавливается. Определить коэффициент трения, считая его постоянным, если по горизонтальной плоскости до остановки брусок проходит расстояние 142 см?

Ответ: μ = 0,038.

12. Тело, брошенное вертикально вниз с высоты 75 м со скоростью 10 м/с, в момент удара о землю имело кинетическую энергию в 1600 Дж. Найти: а) массу тела; б) потенциальную и кинетическую энергию через 2 с после начала движения.

Ответ: m = 2,03кг; W_k = 900Дж; W_n = 700Дж.

13. Подъёмный кран за 7 часов поднимает 3000 тонн строительных материалов на высоту 10м. Какова мощность двигателя крана, если КПД крана 0,6 ?

Ответ: N =19,44кВт.

14. Груз положили на чашку весов. Сколько делений покажет стрелка весов при первоначальном отбросе, если после успокоения качаний она показывает 5 делений?

Ответ: x = – 10делений.

15. Груз массой m = 1кг падает на чашку весов с высоты H = 10см. Каковы показания весов F в момент удара, если после успокоения качаний чашка весов опускается на h = 0,5см?

Ответ: F = 72,5H.

16*. Шар радиусом R = 6см удерживается внешней силой под водой так, что его верхняя точка касается поверхности воды. Какую работу произведёт выталкивающая сила, если отпустить шар и предоставить ему свободно плавать? Плотность материала шара ρ = 0,5 ∙ 10 кг/м³.

Ответ: A = 0,17Дж.

17*. Шар диаметром D = 30см плавает в воде. Какую работу надо совершить, чтобы погрузить шар в воду на H = 5см глубже? Плотность материала шара ρ = 0,5 ∙ 10 кг/м³.

Ответ: A = 0,84Дж.

18. Трамвай движется с ускорением a = 49см/с². Найти коэффициент трения μ, если известно, что 50% мощности мотора идёт на преодоление силы трения и 50% – на увеличение скорости движения.

Ответ: μ ≈ 0,05.

19. Какую массу бензина расходует двигатель автомобиля на пути S = 100км, если при мощности двигателя N = 11кВт скорость его движения υ = 30км/ч? К.п.д. двигателя η = 0,22, удельная теплота сгорания бензина q = 40МДж/кг.

Ответ: m = 13кг.

20. С башни высотой h = 25м брошен камень со скоростью υ₀ = 15м/с. Найти кинетическую W_k и потенциальную W_n энергии камня через время t = 1с после начала движения. Масса камня m = 0,2кг.

Ответ: W_k = 32,2Дж; W_n = 39,4Дж.

21. Тело массой m начинает двигаться под действием силы F = 2ti +3t²j, где i и j - соответственно единичные векторы (орты) координатных осей х и у. Определите мощность N(t), развиваемую силой в момент времени t.

Ответ: .

22. Шарик массы подвешен на упругой невесомой нити, жёсткость которой k. Затем шарик подняли так, чтобы нить оказалась в недеформированном состоянии, и без толчка отпустили. Найти максимальное удлинение нити x_maxв процессе движения.

Ответ: .

23. Небольшое тело массы m поднимается без начальной скорости с поверхности Земли под действием двух сил: силы F, меняющейся с высотой подъёма у по закону F = – 2mg(1 – ay), где а – положительная постоянная, и силы тяжести mg. Найти работу силы F на первой половине пути подъёма и соответствующее приращение потенциальной энергии в поле тяжести Земли. (Поле тяжести предполагается однородным).

Ответ: ; .

24. Вагонетку массой m = 3т поднимают по рельсам в гору, наклон которой к горизонту равен β = 30⁰. Какую работу совершила сила тяги на пути S = 50м, если известно, что вагонетка двигалась с ускорением a = 0,2м/с²? Коэффициент трения принять равным μ = 0,1; g = 10м/с².

Ответ: A ≈ 900 Дж.

25*. Две пружины одинаковой длины, имеющие соответственно жёсткость, равную k₁ = 9,8Н/см и k₂ = 19,6Н/см, соединены между собой концами (параллельно). Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружины на S₀ = 1см? Чему будет равна эта работа, если пружины будут соединены между собой только одним концом (последовательно)?

Ответ: A₂ = 0,037Дж.

26. Самолёт массой m = 3т для взлёта должен иметь скорость υ = 360км/ч и длину разбега S = 600м. Какова должна быть минимальная мощность мотора, необходимая для взлёта самолёта? Силу сопротивления движению считать пропорциональной силе нормального давления, средний коэффициент сопротивления принять равным μ = 0,2. Движение при разгоне считать равноускоренным.

Ответ: N_min = 3 МВт.

27. Поезд массой m = 784т начинает двигаться под уклон и за t = 50с развивает скорость υ = 18км/ч. Коэффициент сопротивления равен μ = 0,005, уклон φ = 0,005. Определите среднюю мощность локомотива, считая силу сопротивления пропорциональной силе нормального давления.

Указание. Уклоном называют отношение высоты наклона плоскости к её длине: уклон , где α - угол наклона плоскости к горизонту.

О твет: N_cp = 200кВт.

28*. Камень брошен под некоторым углом к горизонту со скоростью (рис. 5.9). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, на какой высоте от точки бросания скорость камня уменьшится вдвое.

О твет: .

29*. Вокруг горизонтальной оси может без трения вращаться лёгкий рычаг (рис. 5.10), плечи которого равны l₁ и l₂. На концах рычага укреплены грузы массой, равной соответственно m₁ и m₂. Предоставленный самому себе, рычаг переходит из горизонтального положения в вертикальное. Какую скорость будет иметь в нижней точке второй груз?

Ответ: .

30. Автомобиль движется вверх по пологому подъёму со скоростью υ₁ = 6м/с и спускается по тому же пути со скоростью υ₂ = 9м/с, не меняя мощности двигателя. С какой скоростью будет ехать автомобиль по горизонтальному участку той же дороги, если мощность двигателя неизменна? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: υ = 7,2м/с.

31. Санки съезжают с горы, длина основания которой a = 5м, а высота H = 2м. После этого они проезжают ещё до остановки S = 35м по горизонтальной площадке. Определите коэффициент трения μ, считая его одинаковым на всём пути. Переход склона горы в горизонтальную поверхность считайте достаточно плавным.

Ответ: μ = 0,05.

32. Лежащий на гладком горизонтальном столе клин имеет массу М и высоту h. Угол наклона поверхности клина к горизонту равен α. С клина соскальзывает без трения небольшое тело массой m. Какую скорость υ приобретает тело в конце спуска? Определите величину и направление скорости.

Ответ: .

33. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы однородный куб, находящийся на горизонтальной плоскости, перевернуть с одной грани на соседнюю? Масса куба m = 100кг, длина его ребра l = 50см.

Ответ: A = 98Дж.

34*. Прямоугольная яма, площадь основания которой S и глубина h, наполовину заполнена водой. Насос выкачивает воду и подаете на поверхность Земли через цилиндрическую трубку радиуса R. Какую работу совершил насос, если он выкачал всю воду за время t?

Ответ: .