Задачи для самостоятельного решения.

1. Машинист пассажирского поезда, который шёл со скоростью 30 м/с, увидел впереди товарный поезд, идущий на 180 м впереди с постоянной скоростью 9 м/с. Машинист сразу затормозил, причём тормоза вызвали ускорение пассажирского поезда, равное  1,2 м/с². Произойдёт ли крушение? Реакция машиниста мгновенна.

Ответ: поезда столкнутся через 15 с.

2. Самолёт садится на посадочную дорожку длиной 360 м. Какова скорость в момент приземления, если, двигаясь с постоянным отрицательным ускорением, самолёт останавливается в конце дорожки через 30 с после приземления?

Ответ: υ₀ = 24м/с.

3. Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно увеличивает свою скорость. На первом километре она возросла на 10 м/с. На сколько она возрастает на втором километре?

Ответ: Δυ = 4,1м/с.

4. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и, двигаясь по прямой, проходит первый километр с ускорением a₁, а второй – с ускорением a₂. При этом на первом километре его скорость увеличивается на 10 м/с, а на втором километре – на 5 м/с. Какое ускорение больше: a₁ или a₂?

Ответ: a₁ = 0,05м/с²; a₂ = 0,0625 м/с ².

5. Камень брошен вертикально вверх. Какой должна быть его начальная скорость, чтобы подъём на высоту 29,4м занял 6 с? Как изменится это число, если сократить время подъёма до 3 с? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: υ₀ = 34,3м/с; υ₀₁ = 24,5м/с.

6. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости ω = 20рад/с через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Ответ: ε = 3,18рад/с ².

7. Маховое колесо спустя t = 1 мин после начала вращения приобретает скорость, соответствующую v = 12об/с. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов за эту минуту.

Ответ: ε = 1,256рад/с²; N = 360об.

8. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 15 об/с. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Ответ: t = 10с.

9. Маховик, вращавшийся с постоянной угловой скоростью, соответствующей частоте 10 об/с, при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение снова стало равномерным, но уже с частотой 6 об/с. Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов.

Ответ: ε = - 4рад/с²; t = 6,26с.

10. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = 2рад/с². Через t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса стало равным a = 13,6м/с². Найти радиус колеса.

Ответ: R = 6,09 · 10^-2м.

11. Якорь электромотора, вращавшийся с частотой v = 50об/с, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав N = 1680 оборотов. Найти угловое ускорение якоря.

Ответ: ε = 4,67рад/с ².

12. Найти угловое ускорение лопатки турбины, расположенной на расстоянии 1 м от оси вращения, через 15 с после пуска турбины, если зависимость линейной скорости лопатки от времени выражена уравнением υ = 2t + 0,8t²м/с.

Ответ: ε = 26рад/с ².

13. Первое тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. В тот же момент времени вертикально вниз с той же начальной скоростью из точки, соответствующей максимальной верхней точке полета первого тела, брошено второе тело. Определить: 1) в какой момент времени тела встретятся; 2) на какой высоте от поверхности Земли произойдет эта встреча; 3) скорость первого тела в момент встречи; 4) скорость второго тела в момент встречи.

Ответ: t = 0,125с; h = 0,547м; υ₁ = 3,75м/с; υ₂ = 6,25м/с.

14. Горизонтально рас­положенный стержень вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, укрепленной на столе и проходящей через один из концов стержня. По стержню движется небольшая муфта. Ее скорость относительно стержня меняется по закону υ′ = br, где b - постоянная, r - радиус-вектор, характеризующий расстояние муфты от оси вращения. Найти: 1) скорость υ и ускорение а муфты относительно стола в зависимости от r; 2) угол между векторами υ и а в процессе движения.

Ответ: ; ; .

15. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью υ₀. Определите ускорение тела, если за время t = 2 с оно прошло путь S = 16м и его скорость υ = 3υ₀.

Ответ: a = 4м/с².

16. Зависимость пройденного телом пути S от времени t выражается уравнением S = At – Bt² + Ct³ (A = 2м/с², B = 3м/с³, C = 4м/с⁴). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени t = 2 с после начала движения: 1) пройденный путь; 2) скорость; 3) ускорение. Построить график зависимости пути, скорости и ускорения от времени для интервала 0 ≤ t ≤ 3с через 0,5с.

Ответ: S = 24м; υ = 38м/с; a = 42м/с².

17. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = At² (A = 0,5рад/с²). Определите к концу второй секунды после начала движения: 1) угловую скорость диска; 2) угловое ускорение диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 80 см от оси вращения, тангенциальное a_τ, нормальное a_n и полное а ускорения.

Ответ: ω = 2рад/с; ε = 1рад/с²; a_τ = 0,8м/с²; a_n = 3,2 м/с²; a = 3,3м/с².

18. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением φ = At² (A = 0,1рад/с²). Определите полное ускорение а точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент равна 0,4 м/с.

Ответ: a = 0,256м/с².

19. Диск радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе диска, от времени задается уравнением υ = At + Bt² (A = 0,3м/с², B = 0,1м/с³). Определите угол α, который образует вектор полного ускорения а с радиусом колеса через 2 с от начала движения.

Ответ: α = 4⁰.

20. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он проехал со скоростью υ₁ = 12 км/ч. Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью υ₂ = 6 км/ч, а затем до конца пути шёл пешком со скоростью υ₃ = 4 км/ч. Определить среднюю скорость велосипедиста на всём пути.

Ответ: υ_cp ≈ 7км/ч.

21. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью υ₀ = 3,13м/с. Когда оно достигло верхней точки полёта, из того же начального пункта с такой же начальной скоростью бросили второе тело. Определите, на каком расстоянии h от точки бросания встретятся тела; сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: h ≈ 0,37м.

22. Через блок радиусом R (рис. 3.5) переброшена нить, на концах которой находятся два груза, установленные на одном уровне. Предоставленные самим себе, грузы приходят в равноускоренное движение и, спустя время t, один из них оказывается над другим на высоте h. Определите угол поворота блока, его угловую скорость и полное ускорение точки А в конце интервала времени t. Проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

Ответ: .

23. На вершину идеально упругой наклонной плоскости падает упругий шарик с высоты h = 0,5м. Сколько раз шарик ударится о наклонную плоскость, если длина её L = 32м, а угол наклона к горизонту α = 30⁰?

Ответ: n = 5.

24. Лыжник спустился с горы длиной S₁ = 60м за время t₁ = 15с, а затем проехал по горизонтальному участку ещё S₂ = 30м до остановки. Найдите скорость υ₁ лыжника в конце спуска и ускорение a₂ на горизонтальном участке. Постройте график зависимости скорости от времени.

Ответ: υ₁ = 8 м/с; a₂ ≈ - 1,1 м/с².

24. С какой скоростью υ должен ехать автомобиль, чтобы сорвавшийся с его колеса в точке А (рис. 3.6) застрявший в шине камешек попал в ту же точку колеса, от которой оторвался? Радиус колеса R = 20см.

Ответ: м/с.

Занятие 4.

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЁРДОГО ТЕЛА

Учебная цель: добиться понимания физической сущности динамических параметров, законов Ньютона. Выработать навыки самостоятельного решения задач на данную тему.

Литература

Основная: Детлаф А. А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. – Гл. 2, § 2.1 – 2.4.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1987. – Т. 1, гл. 2, § 6 – 17.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. В чём заключается основная задача динамики?

2. Дайте определение силы и поясните основные признаки и свойства силы.

3. Что понимается под массой?

4. Сформулируйте и объясните законы Ньютона. Запишите основное уравнение динамики.

5. Что называется инерциальными системами отсчёта?

6. Что называется импульсом тела? Импульсом силы? Их единицы измерения?

7. Перечислите механические силы и напишите формулы, по которым они определяются?