Задачи для самостоятельного решения.

1. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке прямой, соединяющей центры масс Луны и Земли, ракета будет притягиваться Землёй и Луной с одинаковой силой?

Ответ: На расстоянии r₁ = 3,43 ∙ 10⁵км от поверхности Земли

2. Сравнить ускорение свободного падения у поверхности Луны g_л с ускорением свободного падения у поверхности Земли g_з.

Ответ: g_л = 0,165 g_з.

3. Найти первую космическую скорость υ₁, т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно начало двигаться по круговой орбите в качестве её спутника.

Ответ: км/с.

4. Найти вторую космическую скорость υ₂, т.е. скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно преодолело земное тяготение и навсегда удалилось от Земли.

Ответ: υ₂ = 11,2км/с.

5. Орбита искусственной планеты близка к круговой. Найти линейную скорость υ её движения и период T её обращения вокруг Солнца, считая известным диаметр Солнца и его среднюю плотность ρ. Среднее расстояние планеты от Солнца r = 1,71 ∙ 10⁸км.

Ответ: υ = 2,78 ∙ 10⁴м/с; T = 450 суток.

6. Период обращения кометы Галлея вокруг Солнца T = 76лет. Минимальное расстояние, на котором она проходит от Солнца составляет 180 Гм. Определите максимальное расстояние, на которое комета Галлея удаляется от Солнца. Радиус орбиты Земли принять равным R₀ = 150 Гм.

Ответ: R_max = 5,2 ∙ 10⁹км.

7. Определите среднюю плотность Земли, считая известными гравитационную постоянную, радиус Земли и ускорение свободного падения на Земле.

Ответ: ρ = 5,51г/см³.

8. Две материальные точки массами m₁ и m₂ расположены друг от друга на расстоянии R. Определите угловую скорость вращения, с которой они должны вращаться вокруг общего центра масс, чтобы расстояние между ними осталось постоянным.

Ответ: .

9. Стационарным искусственным спутником Земли называется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой экватора. Определите расстояние от такого спутника до центра Земли.

Ответ: r = 4,22 ∙ 10⁴км.

10. Принимая, что радиус Земли известен, определите, на какой высоте h над поверхностью Земли напряжённость поля тяготения равна 4,9 Н/кг.

Ответ: h = 2,64 Mм.

11. Определите, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, напряжённость поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 81 раз больше массы Луны.

Ответ: x = 0,9R.

12*. Имеется тонкий однородный стержень массой m и длиной l. Для точки, находящейся на одной прямой со стержнем на расстоянии a от его ближайшего конца, определите: 1) потенциал гравитационного поля стержня; 2) напряжённость его гравитационного поля.

Ответ: ; .

13. Два алюминиевых шарика (ρ = 2,7г/см³) радиусами r₁ = 3см и r₂ = 5см соприкасаются друг с другом. Определите потенциальную энергию их гравитационного взаимодействия.

Ответ: W_n = – 0,36 нДж.

14. Спутник поднимают на высоту h = 6370м и запускают его по круговой орбите на той же высоте. Определите отношение работ на поднятие (A₁) и на запуск (A₂) спутника.

Ответ: .

15*. Определить, какую скорость имеет метеорит массой m на расстоянии r = 1,5 ∙ 10¹¹м от Солнца, если он двигался без начальной скорости из бесконечности к Солнцу (массой M). Влиянием других тел пренебречь.

Ответ: υ ≈ 42,2км/с.

1 6. Космическая ракета движется вокруг Земли по орбите, почти совпадающей с орбитой Луны. При включении тормозного устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Землю (рис. 9.5). Определите время падения ракеты на Землю. Сопротивлением воздуха атмосферы Земли и влиянием других тел пренебречь.

Ответ: t ≈ 4,85суток.

17. Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте h над поверхностью Земли (радиус Земли R), превышает период спутника, обращающегося в непосредственной близости от её поверхности (h ≈ 0)?

Ответ: .

18. К равноплечим рычажным весам подвешивают груз и гири с помощью невесомых нитей различной длины (рис. 9.6). Оцените, при какой разнице h длин нитей весы будут давать погрешность Δm = 0,01г при взвешивании груза массой m = 10кг. Радиус Земли R = 6400км. Вращение Земли не учитывать.

Ответ: h = 3,2м.

1 9*. Найдите силу F притяжения маленького шарика массой m и большого однородного шара массой M, в котором имеется сферическая полость (рис. 9.7).

Ответ: .

20. К какому уменьшению веса тел на экваторе по сравнению с полюсом приводит вращение Земли? В каком направлении вдоль экватора и с какой скоростью υ должен лететь самолёт, чтобы на нём этот эффект не наблюдался?

Ответ: Уменьшение веса тел на экваторе на 0,35% по сравнению с полюсом.

21. На экваторе некоторой планеты тела весят втрое меньше, чем на полюсе. Период обращения планеты вокруг своей оси равен T = 55 мин. Определите среднюю плотность ρ планеты.

Ответ: ρ = 19,5 ∙ 10³ кг/м³.

22. Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам, расположенным в одной плоскости, со скоростями υ₁ = 7,8 км/с и υ₂ = 7,7 км/с. Определить интервал времени t, через который оба спутника регулярно сближаются на минимальное расстояние друг от друга. Найти это расстояние, если радиус Земли R = 6400 км, ускорение силы тяжести у полюсов Земли g = 9,8 м/с².

Ответ: h_min = 176км; t = 40 ч. – если спутники движутся в одном направлении; t = 46 ч.­ - если направление движения спутников противоположно.

23. Определить угловую скорость ω вращения двухпланетной системы. Массы планет M₁ и M₂, расстояние между их центрами R. Найти также ускорения, с которыми движутся планеты.

Ответ: ; ; .

24. Космонавт массой m₁ = 100кг находится на поверхности шаровидного астероида радиусом R = 1 км и держит в руках камень массой m₀ = 10 кг. С какой максимальной горизонтальной скоростью υ₀ относительно поверхности астероида космонавт может бросить камень, не рискуя, что сам он вследствие отдачи станет спутником астероида? Средняя плотность астероида ρ = 5 ∙ 10³ кг/м³.

Ответ: υ₀ = 12м/с.

25. Спутник вращается вокруг Земли по круговой орбите радиуса r. В какой пропорции сообщённая ему при запуске энергия поделилась между потенциальной и кинетической энергиями?

Ответ: , т.е. отношение сообщённой потенциальной энергии к сообщённой кинетической пропорционально высоте орбиты.

26*. На большом расстоянии от Земли метеорит движется относительно неё со скоростью υ₀. Если бы земное притяжение отсутствовало, метеорит прошёл бы на расстоянии l от центра Земли (рис. 9.8). При каком наибольшем значении «прицельного» расстояния l метеорит будет захвачен Землёй?

Ответ: .