Примеры решения задач.

1. Сначала тело поднимают из шахты глубиной (где R - радиус Земли) на поверхность, а затем поднимают на высоту от поверхности Земли. В каком случае работа больше?

Р ешение.

Легко видеть, что эта задача на оценку. Для того, чтобы ответить на вопрос задачи необходимо найти отношение , где A₁ – работа в первом случае, а A₂ – во втором. И в первом и во втором случаях работа совершается против силы тяготения, но законы, описывающие действия этих сил различны. В первом случае сила тяготения

Во втором:

Г рафики изменения этих сил показаны на рисунке 5.3. Таким образом, силы переменны и для расчёта работ A₁ и A₂ необходимо применить метод ДИ. Элементарные работы на участках dx составляют

d A₁= F₁(x)dx и d A₂= F₂(x)dx.

После интегрирования в соответствующих пределах получаем

и, следовательно,

Сила может зависеть от компоненты скорости υ_x = υ. При расчёте работы в этом случае необходимо найти закон изменения скорости υ от времени t, т.е решить основную задачу динамики, применяя второй закон Ньютона. Элементарная работа

d A= F(υ)dx = F(υ) υdt

По второму закону Ньютона

,

где ∑F_i – алгебраическая сумма проекций на направление движения остальных сил, действующих на данное тело. После решения последнего уравнения и учёта начальных условий находим закон изменения скорости: υ = υ(t). Далее подставляем найденный закон изменения скорости в формулу элементарной работы, и после интегрирования получаем искомую работу:

.

Ответ: .

2 . Найти работу, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела от 2 м/с до 6 м/с на пути 10 м. На всём пути действует постоянная сила трения, равная 2 Н. Масса тела 1 кг (рис. 5.4).

Р ешение.

Работа внешней силы (силы тяги) идёт на изменение кинетической энергии тела и преодоление силы трения, то есть на работу против силы трения:

A = ΔW_k + A_mp,

По определению работы

A = F_mpS cosα = – F_mpS,

так как cosα = – 1, α = 180⁰.

Сила трения всегда направлена против перемещения тела.

Работа внешней силы равна работе против силы трения:

.

Подставляя числовые значения, получим

Дж.

Ответ: A = 36Дж.

3. Акробат прыгает в сетку с высоты H = 8м. На какой предельной высоте h над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат не ударился о пол при прыжке? Известно, что сетка прогибается на h₀ = 0,5м, если акробат прыгает на неё с высоты H₀ = 1м.

Р ешение.

По закону сохранения энергии потенциальная энергия должна полностью перейти в энергию упругого взаимодействия:

Разделив первое уравнение на второе, получим:

Решим данное квадратное уравнение:

;

;

После подстановки числовых значений, получаем:

h₁ = 1,23м; h₂ = – 1,07м – противоречит условию задачи.

Ответ: h₁ = 1,23м.

4. На автомобиль массой m = 1т во время движения действует сила трения F_mp, равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Какую массу бензина Расходует двигатель автомобиля на то, чтобы на пути S = 0,5км увеличить скорость от υ₁ = 10км/ч до υ₂ = 40км/ч. К.п.д. двигателя η = 0,2, удельная теплота сгорания бензина q = 40МДж/кг.

Р ешение.

Полезная работа, совершаемая двигателем, идёт на преодоление силы трения и на приращение кинетической энергии.

(1)

Затраченная работа равна количеству теплоты:

A₃ = Q₃ = q ∙ m₁ (2)

Из определения К.п.д.

(3)

Подставив (3) в (2), получим:

Подставляем данное выражение в (1) и получаем:

С учётом того, что F_mp = 0,1mg, подставив числовые значения, предварительно переведя их значения в СИ, получаем:

кг.

Ответ: m₁ = 0,06кг.

5 . Груз массой m висит на лёгкой нити длиной l. Нить отклонили от вертикального положения на угол α₀ и отпустили. а) По какому закону изменяется сила натяжения нити при движении груза? б) На какой максимальный угол можно отклонить нить, чтобы при последующих качаниях она не оборвалась, если нить выдерживает силу натяжения, равную по модулю 2mg?

Р ешение.

В задаче рассматриваются два положения системы, которые проходит груз при неравномерном движении по дуге окружности. Для решения задачи нужно составить уравнение закона сохранения энергии и второго закона Ньютона в проекциях на направление радиуса.

а) Делаем чертёж (рис. 5.5), отмечаем первое положение груза, характеризуемое начальным углом отклонения α₀ и второе, характеризуемое произвольным углом α. Записываем уравнение закона сохранения энергии:

A = W₂ – W₁

За начало отсчёта потенциальной энергии примем произвольное положение груза – уровень ОО.

Отмечаем высоту h и скорость груза в положении II. На груз при его движении действует сила натяжения нити и сила тяжести, равная . Во время движения сила натяжения все время направлена под углом 90⁰ к вектору скорости, поэтому при перемещении груза из положения I в положение II работа этой силы равна нулю A = 0. Полная энергия в указанных положениях равна соответственно:

,

т.к. скорость в положении груза I и высота в положении II над уровнем ОО равны нулю. Подставляя данные выражения для работы и полной энергии в исходную формулу, получим:

В тот момент времени, когда нить составляет с вертикалью угол α, на груз действует сила тяжести , и сила натяжения нити . Под действием этих сил груз движется по дуге окружности, обладая нормальным a_n и касательным a_τ ускорениями. Спроецируем вектор на направление радиуса и касательной. Как видно из рисунка, соответствующие проекции равны: F₁ = mg sin α, F₂ = mg cos α. Согласно второго закона Ньютона

mg sin α = ma_τ → a_τ = g sin α

Нетрудно заметить, что T > F₂ (от своего направления движения груз отклоняется вверх), поэтому уравнение второго Закона Ньютона в проекциях на нормаль к траектории имеет вид:

, (2)

где l - длина нити; υ - скорость груза во II положении системы.

Для нахождения вида функции T(α) составленных уравнений недостаточно. К ним необходимо добавить связь между h, l, α₀ и α. Как видно из чертежа

h = l(cos α – cos α₀) (3)

Уравнения (1) – (3) содержат три неизвестные величины: T, υ, h. Решая их относительно искомой силы натяжения, мы получим ответ на первый вопрос задачи: как меняется сила натяжения нити в зависимости от её положения, характеризуемого углом α:

T = mg(1 + 2cos α – 2cos α₀)

Анализируя полученный результат мы видим:

1) при α = 0, т.е. в нижней точке траектории (при вертикальном положении нити) сила натяжения имеет максимальное значение, равное

T_max = mg(3 – 2cos α₀);

2) если в начальный момент нить занимает горизонтальное положение (α₀ = 90⁰), то сила натяжения будет меняться по закону

T = mg(1 + 2cos α)

Она имеет максимальное значение T_max = 3mg при α = 0.

б) Наибольшее значение начального угла отклонения, при котором сила натяжения нити равна T_max = 2mg, можно найти из уравнений (1) (3). Так как максимальное натяжение нить испытывает в вертикальном положении, то, положив в них α = 0 и T_max = 2mg, получим:

Решая эти уравнения совместно относительно , получим cosα₀ = 0,5 → α₀ = 60⁰.

Таким образом, при отклонении нити в горизонтальное положение T_max = 3mg, при отклонении на угол α₀ = 60⁰ T_max = 2mg.

6. Человек прыгает в воду со скалы высотой h = 10м. На какую глубину H он бы при этом опустился, если бы можно было пренебречь силами сопротивления воздуха и воды? Масса человека m = 60кг, объём V = 86л.

Р ешение 1.

При полёте в воздухе человек приобретает скорость . В воде эта скорость уменьшается до нуля. В отсутствие сил сопротивления на человека действуют только постоянные силы (сила тяжести и сила Архимеда), поэтому движение можно считать равноускоренным. Тогда , где а – ускорение человека при движении в воде. Согласно второго закона Ньютона,

м.

Решение 2.

В отсутствие сил сопротивления механическая энергия замкнутой системы тел сохраняется. Однако не забудем включить в замкнутую систему воду и Землю! В начале прыжка и в момент наибольшего погружения скорость человека равна нулю, т.е. кинетическая энергия отсутствует. Значит, потенциальная энергия в эти моменты одинакова: ΔW_n = 0. Но ведь человек потерял высоту H + h, а, значит ΔW_n = – mg(H + h). У какой же части системы энергия при этом увеличилась? Ответ прост: у воды. Погружаясь на глубину H, человек вытеснил и заставил подняться на такую же высоту воду массой ρV, увеличив её потенциальную энергию на ρVgH.

Итак, м.

Решение 3.

Воспользуемся тем, что полная работа всех приложенных к телу сил при перемещении из верхней точки в нижнюю равна изменению его кинетической энергии (в данном случае – нулю). Это приводит к соотношению mgh – (F_A – mg)H = 0, откуда

м.

Глубина погружения получилась неправдоподобно большой (на самом деле при таком прыжке человек погружается в воду всего на несколько метров). Дело в том, что силы сопротивления (особенно при движении в воде) велики и пренебрегать ими нельзя.

Ответ: H = 100м.