- •Курс лекций по статике и кинематике
- •Раздел 1 Статика
- •Основные понятия и аксиомы статики
- •Аксиомы статики
- •5. Аксиома равенства действия и противодействия. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.
- •2 Связи и их Реакции
- •3 СистемЫ сил
- •Лекция 2 система сходящихся сил
- •1 Проекции силы на ось и на плоскость
- •Равнодействующая сходящейся системы сил
- •3 Условия равновесия сходящейся системы сил Векторная форма
- •Аналитическая форма
- •Теорема о трех непараллельных силах
- •Лекция 3 теория пар сил
- •1 Момент силы относительно точки и оси
- •Момент силы относительно точки
- •Момент силы относительно оси
- •Аналитическое выражение моментов силы относительно координатных осей
- •2 Пара сил и ее свойства
- •3 Сложение пар сил и Условия равновесия пар сил
- •Условие равновесия
- •Условия равновесия пар
- •2 Приведение произвольной системы сил к заданному центру
- •3 Условия и уравнения равновесия произвольной системы сил Частные случаи приведения системы сил
- •Приведение системы сил к динаме (динамическому винту)
- •Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
- •Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил
- •Равновесие пространственной системы параллельных сил
- •Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Равновесие плоской системы параллельных сил
- •Лекция 5 фермы и составные конструкции
- •Классификация ферм
- •Способ вырезания узлов
- •3 Способ сечений (Риттера)
- •Определение реакций опор составных конструкций
- •Лекция 6 Трение
- •1 Трение покоя (сцепления)
- •Экспериментально установлено, что
- •2 Трение качения
- •3 Устойчивость при опрокидывании
- •Лекция 7 центр тяжести
- •1. Центр параллельных сил
- •2 Центр тяжести твердого тела
- •3 Методы определения центров тяжести
- •4 Центры тяжести простейших тел
- •5 Статические моменты и центр тяжести
- •6 Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •Раздел 2 Кинематика Лекция 8 кинематика точки
- •1 Предмет и задачи кинематики
- •2 Способы задания движения точки Векторный способ задания движения точки
- •Естественный способ задания движения точки
- •3 Скорость и ускорение точки при векторном спосоБе задания движения точки Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •4 Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения Определение скорости точки
- •Определение ускорения точки
- •2 Скорость и ускорение точки Скорость точки
- •Ускорение точки
- •4 Классификация движений точки
- •Равномерное и равнопеременное движение точки Равномерное движение точки
- •Равнопеременное движение точки
- •Лекция 10 простейшие движения твердого тела
- •1 Поступательное движение твердого тела
- •2 Вращательное движение твердого тела
- •3 Скорость и ускорение точек, вращающегося тела
- •4 Передаточные механизмы
- •Лекция 11 плоское движение твердого тела
- •Уравнения плоского движения твердого тела
- •2 Скорости точек тела при его плоском движении
- •3 Ускорение точек тела при его плоском движении
- •На этом основании
- •Лекция 12 мгновенный центр скоростей и ускорений
- •1 Мгновенный центр скоростей
- •2 Частные случаи определения мгновенного центра скоростей
- •3 Мгновенный центр ускорений
- •Угловая скорость вращения колеса
- •Действительно, имеем
- •2 Скорость точки при сложном движении
- •Таким образом
- •3 Ускорение точки при сложном движении
- •4 Ускорение кориолисово
- •Для тел, движущихся по поверхности Земли, ее вращение вокруг оси является переносным движением.
2 Трение качения
Трение качения возникает в результате деформации катящегося тела и опорной поверхности, которые в действительности не являются абсолютно твердыми. Поэтому контакт между телом и поверхностью происходит по некоторой площадке (рис. 6.8, а). Нормальная реакция смещается относительно центра катка на некоторую величину в сторону движения, которая при выходе тела из равновесия достигает максимума и называется коэффициентом трения качения /к (рис. 6.8, б).
Рис. 6.8
Коэффициент трения качения имеет размерность длины в отличие от безразмерного коэффициента трения скольжения. Обычно нормальную реакцию проводят через центр катка, добавляя при этом к телу пару сил с моментом (рис. 6.9, в), который называют моментом трения качения:
.
Для катка, находящегося в покое, составим три уравнения равновесия (рис. 6.8, в):
1. .
2. .
3. .
.
Из последнего выражения получим условие качения колеса без скольжения.
Обычно это условие соблюдается. Поэтому для начала качения катка требуется меньшая сила, чем для его скольжения.
Задача 2. Цилиндрический каток диаметра 60 см и весом Q = 3,92 кН приводится в равномерное движение человеком, который давит на рукоятку АО = 1,5 м с постоянной силой в направлении АО. Высота точки А над горизонтальной дорогой 1,2 м. Коэффициент трения качения катка равен = 0,5 см. Определить величину силы , силу трения при качении и нормальную составляющею реакции горизонтальной плоскости (рис. 6.9). Коэффициент трения скольжения между катком и дорогой = 0,2 .
Решение. Изобразим действующие на каток силы. (рис. 6.9, а).
Составим три уравнения равновесия для уравновешенной плоской произвольной системы сил:
, (6.5)
, (6.6)
. (6.7)
Рис. 6.9
Из (6.7) находим:
кН.
Из (6.6)
кН.
Из (6.5)
кН.
кН. .
Задача 3. Механическая конструкция (рис. 10.2.1), состоящая из груза весом Q = 15 кH опоры С, барабана весом P = 10 кH, и тормозного устройства, находится в покое, коэффициент сцепления fсц между колодкой и барабаном равен 0,1. Определить значение силы и реакции опор О, А, В, приняв, что = 300; а = 10 см; в = 20 см.
Решение.
Составление расчётной схемы. Объектом равновесия является составная конструкция, состоящая из груза В, опоры С, барабана и тормозного устройства. Применим принцип освобождаемости от связей по всем связям системы (внешним и внутренним). При этом вместо конструкции получим три свободных тела (груз, барабан и тормозное устройство), находящихся в равновесии под действием системы сил. Опору С можно не принимать во внимание, так как активных сил к ней не приложено. Для каждого объекта равновесия необходимо составить расчетную схему в соответствии с известными правилами, собственно решение задачи начинаем с того объекта, к которому приложено меньшее количество неизвестных.
Рис. 10.2.1
1. Груз В
1.1. Составление расчётной схемы (рис. 10.2.2). Размерами груза В в процессе движения можно пренебречь, то есть считать его материальной точкой. Тогда объектом равновесия является узел В. Активной силой является сила тяжести Q. Применяя принцип освобождаемости от связей, мысленно отбросим связи (нить и идеальную поверхность) и заменим их действие реакциями и . Направление оси х принимаем по поверхности вниз, ось у – перпендикулярно оси х вверх.
Рис. 10.2.2
1.2. Условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая системы сил равнялась нулю.
.
1.3. Составление уравнений равновесия.
; Q ∙ cos 450 - T = 0 (1)
; N1 – Q ∙ sin 450 = 0 (2)
1.4. Определение неизвестных.
Из уравнения (1) Т = Q ∙ cos 450.
Из уравнения (2) N1 = Q ∙ sin 450
2. Барабан
2.1. Составление расчетной схемы (рис. 10.2.3). Объектом равновесия является барабан. Активная сила – сила тяжести Р. Применяя принцип освобождаемости от связей, мысленно отбросим связи (нить и тормозное устройство) и заменим их действие реакциями Т′, N2. Покажем силу сцепления Fсц, которая направлена по касательной к барабану, в сторону, противоположную возможному движению.
Рис. 10.2.3
2.2. Условия равновесия. Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимой достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и её главный момент относительно любого центра были равны нулю.
.
2.3. Составление уравнений равновесия
; Т′ + Fсц ∙ cosα – N2 ∙ sinα + ROx = 0; (3)
; N2 ∙ cosα + Fсц ∙ sinα + RОy – P = 0; (4)
; -Т′ ∙ r + Fсц ∙ 1,5 ∙ r = 0. (5)
Сила сцепления Fсц между нормальной колодкой и барабаном определяется:
.
2.4. Определение искомых величин.
Решая систему уравнений (3 – 5), получим:
; T′ = T; ;
ROx = - T ′ – Fсц ∙ cosα + N2 ∙ sinα;
ROy = - N2 ∙ cosα – Fсц ∙ sinα + P.
.
3. Тормозное устройство
3.1. Составление расчётной схемы (рис. 10.2.4). Объект равновесия — шток тормозного устройства. Активная сила . Используя принцип освобождаемости от связей, мысленно отбросим связи (барабан и корпус тормозного устройства) и заменим их действие реакциями , , .
Покажем силу сцепления , равную по модулю и направленную в противоположную сторону. Направление оси х принимаем по оси штока вниз ось у – перпендикулярно оси х вправо.
3.2. Условия равновесия:
.
3.3. Составление уравнений равновесия:
; ; (6)
; ; (7)
; ; (8)
Рис. 10.2.4
3.4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов. Решая уравнения (6 – 8), получаем:
.
Подставляя числовые значения, получим:
.
.
Знак минус указывает на то, что реакция RB направлена в сторону.
Задача 11.2.1. Цилиндрический каток диаметра 60 см и весом Q = 3,92 кН приводится в равномерное движение человеком, который давит на рукоятку АО = 1,5 м с постоянной силой в направлении АО. Высота точки А над горизонтальной дорогой 1,2 м. Коэффициент трения качения катка равен = 0,5 см. Определить величину силы , силу трения при качении и нормальную составляющею реакции горизонтальной плоскости (рис. 11.2.1, а). Коэффициент трения скольжения между катком и дорогой = 0,2.
Рис. 11.2.1
Решение. При равномерном качении катка все силы, действующие на каток, уравновешиваются. К катку приложены две активные силы: вес катка и сила давления человека . На каток наложена одна связь — горизонтальная плоскость. Применив закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно горизонтальную плоскость и заменим ее действие реакцией . Эта реакция приложена в точке С, находящейся на расстоянии от вертикали, проведенной через центр колеса. Реакция направлена по прямой СО, так как согласно теореме о трех непараллельных силах в случае равновесия линии их действия пересекаются в одной точке О (рис. 11.2.1, б). Реакцию плоскости раскладываем на две составляющие: нормальную составляющую , перпендикулярную к плоскости, и касательную составляющую — силу трения при качении , направленную вдоль плоскости.
Рассмотрим равновесие катка как твердого тела, находящегося под действием четырех сил: , . Выберем систему декартовых координат. Ось х направим по горизонтальной плоскости вправо, ось у — вертикально вверх через центр катка. Составим уравнения равновесия. Обозначив буквой а угол между горизонталью (осью х) и рукояткой ОА, получим
, (1)
, (2)
. (3)
В уравнении (3) буквой r обозначен радиус катка.
При составлении суммы моментов сил относительно точки С сила , приложенная в центре катка О, разложена на две составляющие — горизонтальную ( ) и вертикальную ( ), и использована теорема Вариньона. При этом, как принято всегда делать, при вычислении момента горизонтальной составляющей силы мы пренебрегли изменением ее плеча, считая, что оно равно радиусу катка r.
Из уравнения (3) найдем величину искомой силы :
кН.
Равенство (2) даст
кН.
Из уравнения (1) определяем величину силы трения:
кН.
Проверим, сопоставляя величины силы трения при качении , и силы трения скольжения, будет ли в данном случае чистое качение или же будет иметь место скольжение. Сила трения скольжения равна
кН.
Таким образом, сила трения скольжения больше силы трения при качении
и каток будет катиться без скольжения.
Задача 11.2.2. Определить силу F, необходимую для равномерного качения катка радиусом r = 30 см и весом G = 300 кН по горизонтальной плоскости (рис. 11.2.2), если коэффициент трения качения fк = 0,5 см, а угол α = 30°.
Рис. 11.2.2 Рис. 11.2.3
Решение. Первый вариант. Рассмотрим силы, действующие на каток (рис. 11.2.3). Сопротивление качению учтем за счет смещения нормальной реакции на величину fк (первая модель учета сопротивление качению). Составим уравнения для плоской системы сил:
Решив эту систему уравнений, найдем
Рис. 11.2.4
Второй вариант. Рассмотрим расчетную схему (рис. 11.2.4), учитывая сопротивление качению за счет введения момента сопротивления качению:
(*)
не смещая нормальную реакцию (вторая модель учета сопротивление качению).
Уравнения равновесия:
Решая эту систему уравнений, с учетом равенства (•), приходим к тем же результатам, что и в первом варианте.
3. Отметим, что для того, чтобы качение катка происходило без проскальзывания, коэффициент трения скольжения должен быть достаточно большим, а именно:
и в нашем случае
Задача 11.2.3. Система состоит из двух цилиндров весом G1 = 20 Н, и G2 = 30 Н с одинаковыми радиусами R = 50 см, соединенных однородным стержнем веса G3 = 40 Н. Цилиндры могут кататься без проскальзывания, цилиндр 1 — без сопротивления, а цилиндр 2 — с трением качения.
Рис. 11.2.5
Коэффициент трения качения δ = 2 мм. К цилиндру 1 приложена пара с моментом М. К оси цилиндра 2 приложена наклонная сила F = 10 Н (рис. 11.2.5). В каких пределах меняется момент М в условии равновесия системы?
Решение
1. Задаем направление возможного движения при достижении условия предельного равновесия. Пусть за счет достаточно большой, по сравнению с моментом М, силы F произойдет движение системы влево. Тогда момент трения качения, приложенный к цилиндру 2, будет направлен по часовой стрелке (рис. 11.2.7). Его величину находим по формуле Мтр = N2 ∙δ.
2. Решаем задачу о равновесии системы двух цилиндров и стержня. Разбиваем систему на три тела (рис. 11.2.6, 11.2.7, 11.2.8). Внешние связи за меняем реакциями Fсц1, N1, Fсц2, N2.
Рис. 11.2.6 Рис. 11.2.7 Рис. 11.2.8
Реакции Fсц1 и Fсц2 приложены к цилиндрам в точках их касания поверхностей, вызваны силами сцепления (трения) и обеспечивают вращение цилиндров. Реакции внутренних связей — Х1, Y1, Х2, Y2.
При составлении системы семи уравнений с неизвестными Х1, Y1, N1, X2, Y2, N2, M избегаем уравнения, в которые входят неизвестные реакции Fсц1 и Fсц2 .
Составляем уравнения равновесия для цилиндра 1 (рис. 11.2.6):
(1)
Уравнения равновесия цилиндра 2 (рис. 11.2.7) имеют вид
(2)
Уравнения равновесия стержня АВ (рис. 11.2.8) имеют вид
(3)
Из решения системы уравнений (1-3) определяем:
(4)
Радиус и коэффициент трения качения переводим в метры R = 0.5 м, δ = 0.002 м. Получаем М = 3.414 Нм. Вычисляем нормальные реакции опор:
N1 = 36.058 Н, N2 = 61.013 Н.
Убеждаемся, что N1 > 0 и N2 > 0, что соответствует наличию опоры. Если реакция опоры равна нулю, то это означает отрыв тела от поверхности, отрицательной реакции опоры N ≤ 0 в задаче с односторонней связью не существует (физически не реализуется).
Рис. 11.2.9
3. Меняем направление возможного движения системы. Пусть за счет действия момента М произойдет движение системы вправо. Момент трения качения направим против часовой стрелки (рис. 11.2.9). Составляя уравнения равновесия для новой системы сил, заметим, что отличие от прежней системы проявляется только в знаке М во втором уравнении равновесия (2). Так как Мтр = N2∙8, то новое решение для М будет формально отличаться от (4) только знаком у коэффициента трения δ. Поэтому, не решая (и даже не составляя) системы уравнений равновесия типа (1— 3) для нового направления возможного движения, записываем ответ, изменяя знаки у δ в (4):
(5)
Точно так же находим нормальные реакции опор: N1 = 35.776 Н, N2 = 61.295 Н. При равновесии системы момент, приложенный к цилиндру 1, изменяется в пределах (в Нм) (В задачах, где допускается проскальзывание, необходимо находить также силы Fcц1 и Fcц2 и проверять условие проскальзывания Fcц1 = Fтp1 < fN1, Fcц2 = Fтp2 < fN2, где f — коэффициент трения скольжения).
3.414 ≤ М ≤ 3.658.