46 Билет

Понятие первообразной функции.

Функция называется первообразной функцией функции на интервале , если всюду на интервале существует производная и эта производная .

Замечание. В определении 1.1 интервал может быть заменён на всю бесконечную прямую , либо на одну из бесконечных полупрямых .

Примеры: функция является первообразной функции на интервале , так как всюду на этом интервале ; функция является первообразной функции на бесконечной прямой , так как в любой точке этой прямой ; функция является первообразной функции на бесконечной полупрямой , так как в каждой точке полупрямой .

Неопределённый интеграл.

Совокупность всех первообразных функции на интервале называется неопределённым интегралом и обозначается символом

1. Интегрирование заменой переменной.

Изложим один из наиболее эффективных методов интегрирования функции - метод замены переменной или подстановки. Этот метод основан на следующем утверждении:

Если функция определена и дифференцируема на множестве , представляющем собой конечный или бесконечный интервал, и является множеством значений этой функции, и если функция имеет на множестве первообразную , т.е.

то функция имеет на множестве первообразную, равную , т.е. справедлива формула

Доказательство. Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из правила дифференцирования сложной функции Предположим, что требуется вычислить неопределённый интеграл . В ряде случаев удаётся выбрать в качестве новой переменной такую дифференцируемую функцию , что справедливо равенство ; тогда из формулы (2) найдём

2. Метод интегрирования по частям.

Следующим эффективным методом интегрирования является метод интегрирования по частям. Этот метод основан на следующем утверждении.

Если функции и дифференцируемы на множестве , представляющем собой конечный или бесконечный интервал, и если функция имеет на множестве первообразную, то функция имеет на этом множестве первообразную, причем

Заметим, что в силу равенств , равенство (3) можно записать в виде

Доказательство. Воспользуемся правилом вычисления производной произведения двух дифференцируемых функции

Умножим равенство (5) на dx и возьмём неопределённый интеграл от обеих частей полученного при этом равенства

или

Интегралы в правой части равенства (7) существуют, при этом . Следовательно, существует интеграл и справедливо равенство (3).

Приведем примеры, иллюстрирующие применение метода интегрирования по частям.

1. . Пусть , тогда

Следовательно

2. . Пусть ; тогда .

Следовательно,

3. , где a и b действительные, отличные от нуля числа. Положим

; тогда

Применяя формулу (7) получим, что

К последнему интегралу снова применим формулу (7), полагая пологая на этот раз

; тогда . Следовательно,

т.е.

Из последнего равенства находим

4.

Представим подынтегральную функцию в виде: ; тогда

К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям, полагая тогда

.

Из последнего равенства находим: