- •2 Билет
- •3 Билет
- •4 Билет
- •5 Билет
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§5.Системы общего вида
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •6.Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •7. Определение скалярного произведения
- •8.1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •9.1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •16 Билет
- •17 Билет
- •18 Билет
- •19 Билет
- •20 Билет
- •21 Билет
- •22 Билет
- •23 Билет
- •24 Билет
- •25 Билет
- •26 Билет
- •27 Билет
- •28 Билет
- •29 Билет
- •30 Билет
- •31 Билет
- •32 Билет
- •33 Билет
- •34 Билет
- •35 Билет
- •36 Билет
- •37 Билет
- •38 Билет
- •39 Билет
- •40 Билет
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •41 Билет
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
- •42 Билет
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •43 Билет
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •44 Билет
- •45 Билет
- •2. Неопределённый интеграл.
- •46 Билет
- •Интегрирование заменой переменной.
- •47 Билет
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •48 Билет
- •49 Билет
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •50 Билет
- •Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
8.1. Расстояние между двумя точками
Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат и точки и .
Очевидно, что – расстояние между двумя точками равно длине вектора . В силу теоремы 4.3. Следовательно
2. Деление отрезка в данном отношении.
Рассмотрим в пространстве две различные точки и прямую, проходящую через эти точки. Выберем на этой прямой некоторое направление. Тогда на полученной оси точки определяют направленный отрезок
Пусть - любая отличная от точка указанной оси. Число , где и - величины направленных отрезков соответственно, называется отношением, в котором точка делит направленный отрезок .
Замечание 1. При изменении направления на прямой, проходящей через точки , меняют знаки величины всех направленных отрезков. Поэтому отношение не зависит от выбора направления на прямой .
Введём в пространстве декартову прямоугольную систему координат , и пусть в этой системе координат точки имеют соответственно координаты , и . Пусть точка делит направленный отрезок в отношении , при этом будем считать, что .
Выясним, как можно выразить координаты точки с помощью координат . Пусть , и - основания перпендикуляров, опущенных из точек и на ось . Очевидно, что точка делит направленный отрезок в отношении 𝜆, поэтому
Согласно теореме 1.1 §1 главы 3 , . Тогда из равенств (3) и равенства (2) найдём . Аналогично, проектируя точки на оси и повторяя проведённые выше рассуждения получим следующие формулы нахождения координат точки :
Формулы (4) называются формулами деления отрезка в данном отношении 𝜆.
Замечание 2. Очевидно, если , то точка делит отрезок пополам. В этом случае из формул (4) мы получим
. (5)
Формулы (5) называются формулами деления отрезка пополам.
3. Формула площади треугольника на плоскости. Рассмотрим в плоскости прямоугольную систему координат . Пусть вершины треугольника имеют координаты , , .
Пусть и пусть и - углы наклона векторов и к оси .
В зависимости от расположения точек возможны следующие три случая:
; 2. ; 3. .
Рассмотрим случай 1. Площадь треугольника можно найти по формуле
.
Учитывая, что
, получим
Аналогично устанавливается справедливость формулы (6) в случаях 2 и 3.
Замечание. Аналогичная формула верна и для случая -угольника .
.
Полярная система координат.
Во многих задачах математики, наряду с прямоугольными координатами рассматриваются также полярные координаты. Полярные координаты вводятся следующим образом:
Рассмотрим на плоскости некоторую точку и выходящий из нее луч . Кроме этого укажем единицу масштаба. Точку будем называть полюсом.
Полярными координатами точки называются два числа , первое из которых (полярный радиус) равно расстоянию от полюса до точки , а второе (полярный угол) 𝜑 – углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч до совмещения с лучом . При этом предполагается, что точка отлична от полюса. Для полюса полярный радиус равен нулю, а полярный угол не определен.
Тот факт, что точка имеет полярные координаты обозначается символом .
Для того, чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат ) было взаимно однозначным, считают, что
Пусть точка имеет декартовы координаты и полярные координаты ρ, 𝜑.
Тогда прямоугольные координаты и полярные координаты ρ, 𝜑, очевидно связаны соотношениями: , при этом .