- •2 Билет
- •3 Билет
- •4 Билет
- •5 Билет
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§5.Системы общего вида
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •6.Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •7. Определение скалярного произведения
- •8.1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •9.1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •16 Билет
- •17 Билет
- •18 Билет
- •19 Билет
- •20 Билет
- •21 Билет
- •22 Билет
- •23 Билет
- •24 Билет
- •25 Билет
- •26 Билет
- •27 Билет
- •28 Билет
- •29 Билет
- •30 Билет
- •31 Билет
- •32 Билет
- •33 Билет
- •34 Билет
- •35 Билет
- •36 Билет
- •37 Билет
- •38 Билет
- •39 Билет
- •40 Билет
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •41 Билет
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
- •42 Билет
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •43 Билет
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •44 Билет
- •45 Билет
- •2. Неопределённый интеграл.
- •46 Билет
- •Интегрирование заменой переменной.
- •47 Билет
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •48 Билет
- •49 Билет
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •50 Билет
- •Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
7. Определение скалярного произведения
Пусть даны векторы . Приложим эти векторы к одной точке , и пусть ,
Углом между двумя ненулевыми векторами называется наименьший угол между лучами и .
Если хотя бы один из векторов нулевой, то угол между векторами не определён.
Угол между векторами и обозначается через 𝜑 или . Очевидно, что .
Определение5.1. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла 𝜑 между ними.
Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение полагается равным нулю. Скалярное произведение векторов обозначается следующим образом .
Итак, по определению .
Пусть - ненулевые векторы. Обозначим через – проекцию вектора на ось, определяемую ненулевым вектором Тогда в силу теоремы 4.1 настоящей главы , где 𝜑 – угол между векторами Следовательно равенство (1) может быть записано в виде .
Аналогично доказывается справедливость равенства
Заметим, что равенство (2) верно для любого ненулевого вектора и любого вектора , в том числе нулевого. И равенство (3) верно для любого ненулевого вектора и любого вектора в том числе нулевого.
Физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора, то работа, производимая этой силой равна скалярному произведению .
Два ненулевых вектора называются ортогональными (или перпендикулярными), если угол 𝜑 между ними является прямым.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то эти векторы также считаются ортогональными.
Теорема 5.1. Для ортогональности двух векторов необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.
Достаточность. Пусть . Тогда в силу определения скалярного произведения
. Из последнего равенства мы имеем либо 1) либо 2) . В первом случае хотя бы один из векторов нулевой, и тогда векторы считаются ортогональными по определению.
Во тором случае , следовательно угол 𝜑 прямой, т.е. векторы ортогональны.
Необходимость. Если векторы ортогональны, то либо угол 𝜑 прямой, либо хотя бы один из векторов нулевой, но в любом случае Теорема 5.2. Для любых векторов и числа
;
;
, если - ненулевой вектор и , если - нулевой вектор.
Свойство 1 следует из определения скалярного произведения. Действительно, если ненулевые векторы, то .
Докажем свойство 2. Рассмотрим случай, когда - нулевой вектор. Тогда , и = . В этом случае справедливость свойства 2 очевидна. Пусть теперь - ненулевой вектор. Тогда согласно теореме 4.5 §4 главы 3
.Докажем свойство 3. В случае, когда нулевой вектор, справедливость свойства 3 очевидна. Пусть - ненулевой вектор, тогда . Свойство 3 доказано.
Докажем свойство 4. Из определения скалярного произведения следует, что
Из последнего равенства следует справедливость свойства 4.
Замечание. Свойства 2) и 3) называются свойством линейности скалярного произведения по первому множителю. Из свойства 1) следует, что скалярное произведение обладает свойством линейности и по второму множителю, т.е. и для любых векторов и любого действительного числа 𝜆.
Рассмотрим следующий вопрос: Как можно выразить скалярное произведение векторов , зная их координаты.
Теорема 5.3. Если вектор имеет декартовы координаты , а координаты , то скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.
Доказательство. Представим векторы , . Тогда
Пользуясь свойствами скалярного произведения, получим
Учитывая в правой части последнего равенства, что , ,
, получим
Следствие. Для ортогональности двух векторов и необходимо и достаточно, чтобы .
Справедливость этого утверждения непосредственно следует из теорем 5.1 и 5.3.
Пусть - прямоугольные декартовы координаты вектора в прямоугольной системе координат . Согласно теореме 5.3
С другой стороны . Следовательно
Если - прямоугольные координаты вектора в системе координат , то
Угол между двумя векторами на плоскости и в пространстве.
Пусть заданы прямоугольные координаты двух векторов . , .
Тогда , где - угол между векторами .
Из последнего равенства находим
Аналогичная формула справедлива и для плоскости. Если , , то