37 Билет

Локальный экстремум функции.

1. Теорема Ферма. (Необходимое условие локального экстремума).

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для любой точки справедливо неравенство .

Если в определении 1.1 вместо неравенства требовать выполнение неравенства , то такая точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции .

Если в точке функция имеет локальный максимум или минимум, то будем говорить, что функция в точке имеет локальный экстремум, при этом точку будем называть точкой локального экстремума.

Теорема 1.1. (Теорема Ферма о необходимом условии локального экстремума).

Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то .

Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция имеет в точке локальный максимум (случай локального минимума рассматривается аналогично).

По определению локального максимума, существует такая окрестность точки , что в любой точке , т.е.

Функция дифференцируема в точке , поэтому существуют правая и левая производные в точке , при этом

По определению правой производной

Так как , то . Следовательно, . Поэтому , т.е. . Рассмотрим теперь левую производную: . Т.к. , то , тогда из неравенства (1) следует . Следовательно,

Итак, мы доказали, что и , что возможно только в случае .

Теорема 1.1 доказана.

Теорема 1.1 имеет простой геометрический смысл: если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке локальный экстремум, то касательная, проведённая к графику функции в точке параллельна оси .

2. Теорема Ролля.

Теорема 1.2. Пусть функция непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале , кроме того , то внутри сегмента найдётся такая точка , производная в которой равна нулю.

Доказательство. Функция непрерывна на сегменте . Поэтому, в силу второй теоремы Вейерштрасса, существуют такие точки , в которых функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. .

Очевидно, в каждой точке сегмента , справедливы неравенства .

Возможны два случая: 1. .

В первом случае . Поэтому производная функции равна нулю в любой точке , т.е. для этого случая теорема верна.

Во втором случае, т.к. , то хотя бы одно из двух значений или не принимается на концах сегмента , т.е. существует такая точка , в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале . Тогда по теореме 1.1 (теорема Ферма) . Теорема 1.2 доказана.

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если для непрерывной на сегменте и дифференцируемой на интервале функции, то на графике функции существует точка , в которой касательная к графику параллельна Ox

38 Билет

Теорема Лагранжа.

Теорема 1.3. Если функция f(x) непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале , то существует такая точка , что

Формула (4) называется формулой Лагранжа.

Доказательство. Рассмотрим функцию , определённую на сегменте .

Функции непрерывна на сегменте и дифференцируема на интервале (a,b), так как является разностью двух непрерывных на сегменте и дифференцируемых на интервале (a,b) функций и . Кроме этого, и

. Таким образом, функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка , что т.е. . Из этого равенства находим:

Теорема доказана.

Для выяснения геометрического смысла теоремы Лагранжа заметим, что величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки и графика функции , а является угловым коэффициентом касательной, проведённой к графику функции в точке . В силу теоремы Лагранжа, между точками A и B найдётся точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.

Теорема 1.4. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a,b) и если в каждой точке x указанного интервала , то функция является постоянной на интервале (a,b).

Доказательство. Рассмотрим произвольные две точки и x интервала (a,b). Тогда , поэтому функция f(x) дифференцируема, а стало быть и непрерывна на сегменте . Тогда по теореме Лагранжа , где . Т.к. , то . Т.е. значения функции f(x) в произвольных точках и x совпадают. Это означает, что функция f(x) постоянна всюду на интервале (a,b).

Теорема доказана.

Теорема 1.4 имеет простой геометрический смысл: если касательная к графику функции проведённая в любой точке , параллельна оси Ox, то график функции представляет собой отрезок прямой, параллельной Ox.

4. Достаточное условие монотонности функции на интервале.

Теорема 1.5. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a,b) функция f(x) возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно, чтобы производная этой функции была положительной (соответственно отрицательной) в каждой точке интервала .

Доказательство. Пусть (соответственно ) всюду на интервале (a,b). Докажем, что функция f(x) возрастает (убывает) на интервале (a,b). Пусть и – произвольные точки интервала (a,b), удовлетворяющие условию . Тогда функция f(x) дифференцируема (а стало быть и непрерывна) на сегменте . В силу теоремы Лагранжа

где .

Т.к. и из равенства (5) получим что означает возрастание (убывание) функции .

Теорема 1.5 доказана.

Замечание. Подчеркнём, что условие (соответственно ) не является необходимым условием возрастания (соответственно убывания) функции на интервале (a,b). Так функция возрастает всюду на числовой прямой, в частности на интервале . Однако, производная этой функции не является положительной на этом интервале. (Она обращается в нуль в точке x=0.

Первое достаточное условие экстремума.

Теорема 4.1. Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки и её производная в точке обращается в ноль . Тогда, если для всех и для всех , то функция f(x) имеет в точке C локальный максимум (соответственно локальный минимум); если же производная имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.

Теорема 4.2. (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть функция f(x) имеет в некоторой точке конечную вторую производную . При этом . Тогда функция f(x) имеет в точке локальный максимум, если и локальный минимум, если .