- •2 Билет
- •3 Билет
- •4 Билет
- •5 Билет
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§5.Системы общего вида
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •6.Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •7. Определение скалярного произведения
- •8.1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •9.1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •16 Билет
- •17 Билет
- •18 Билет
- •19 Билет
- •20 Билет
- •21 Билет
- •22 Билет
- •23 Билет
- •24 Билет
- •25 Билет
- •26 Билет
- •27 Билет
- •28 Билет
- •29 Билет
- •30 Билет
- •31 Билет
- •32 Билет
- •33 Билет
- •34 Билет
- •35 Билет
- •36 Билет
- •37 Билет
- •38 Билет
- •39 Билет
- •40 Билет
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •41 Билет
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
- •42 Билет
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •43 Билет
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •44 Билет
- •45 Билет
- •2. Неопределённый интеграл.
- •46 Билет
- •Интегрирование заменой переменной.
- •47 Билет
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •48 Билет
- •49 Билет
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •50 Билет
- •Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
Условие коллинеарности двух прямых.
Пусть прямые и заданные их общими уравнениями
Две прямые будем называть коллинеарными, если они либо параллельны, либо совпадают (сливаются).
Очевидно, что прямые, определяемые уравнениями (15) и (16) коллинеарны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы , . Коллинеарность векторов означает существует такого действительного число 𝜆, что Следовательно прямые, заданные уравнениями (15) и (16), коллинеарны тогда и только тогда, когда выполнены равенства:
В случае , равенства (17) и (18) могут быть записаны в виде :
Равенство (19) является условием коллинеарности прямых и
Замечание. В равенстве (17) мы предполагаем, что . Если хотя бы один их коэффициентов обращается в ноль, например , то из равенства (17) имеем, что и .
Рассмотрим определитель
Если прямые и не коллинеарны, то нарушено равенство (19), тогда очевидно определитель .
Заметим, что является определителем основной матрицы системы линейных алгебраических уравнений
Данная система имеет единственное решение при условии, что и эти решения определяются формулами Крамера:
Итак, если прямые, лежащие в плоскости неколлинеарны, то координаты точки их пересечения находятся по формулам (21).
Если выполнено условие (19), то прямые и коллинеарны, т.е. они либо параллельны и не
имеют ни одной общей точки, либо эти прямые совпадают.
Пусть прямые и коллинеарны, т.е. выполнено равенство (19). Обозначим каждое из отношений (19) через , т.е. положим, что
Тогда справедливы равенства . Рассмотрим произвольную точку , лежащую на прямой . Тогда координаты точки удовлетворяют уравнению
Пользуясь равенствами (23), получим
Могут представиться два случая.
, тогда из равенства (24) найдём
. Из последних соотношений имеем
Следовательно в случае, когда , произвольная точка прямой не лежит на прямой , т.е. у прямых нет общих точек. Следовательно, условие
(25)
является условием параллельности прямых .
Пусть теперь , где – величина, указанная в равенствах (21). Тогда из равенства (24) получим
, т.е. точка лежит как на прямой , так и на прямой . Следовательно эти прямые сливаются.
Итак, мы получили следующее условие слияния двух прямых
Заметим, что при выполнении условия (25) система линейных уравнений (20) не имеет решений, а при выполнении условия (26) имеет бесконечное множество решений.
Условие ортогональности двух прямых.
Любые две пересекающиеся в одной точке прямые образуют два угла, в сумме равных 𝜋. Один из указанных углов совпадает с углом между нормальными векторами и этих прямых.
Найдём угол между векторами и
Пусть прямые заданы их общими уравнениями (15) и (16), тогда , . Обозначим через угол между векторами и Косинус этого угла может быть вычислен по формуле:
Учитывая в этой формуле, что
, ,
получим
В частности, если угол прямой, то и мы получим условие ортогональности прямых
(28)
Пусть теперь прямые заданы их уравнениями с угловыми коэффициентами
Запишем уравнения (27) и (28) в виде
Уравнения (31) и (32) являются общими уравнениями прямых при , , , , , . При этом из условия (25) получим условие параллельности прямых
Из условия (26) получим условие слияния двух прямых
.
Из формулы (27) получим формулу для определения угла между прямыми
Из условия (28) получим условие ортогональности прямых
Рассмотрим теперь случай, когда прямые заданы их каноническими уравнениями.
Из уравнений (37) и (38) получим
Уравнения (39) и (40) являются общими уравнениями прямых при
. Тогда из условий (25), (26), (27), (28) получим
Условие коллинеарности .
Условие параллельности .
Условие слияния .
Формула для вычисления угла .
Условие ортогональности .
Приведём ещё одну формулу для нахождения угла между двумя прямыми.
Пусть прямые заданы уравнениями
Пусть - угол между прямыми , отсчитанный от прямой до прямой против часовой стрелки. Тогда , либо , либо . Но во всех указанных случаях . Учитывая в последнем равенстве, что , , получим