§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.

Понятие эквивалентной системы. Рассмотрим две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковым количеством неизвестных .

Заметим, что числа могут не совпадать. Т.е. количество уравнений системы (1) может не совпадать с количеством уравнений системы (2).

Системы (1) и (2) с одинаковым количеством неизвестных называются эквивалентными, если каждое решение системы (1) является решением системы (2) и наоборот – каждое решение системы (2) является решением системы (1).

Элементарные преобразования системы. Элементарными преобразованиями системы называются преобразования следующих трёх типов.

1. Перестановка местами любых двух уравнений системы;

2. Умножение любого уравнения системы на любое отличное от нуля число;

3. Прибавление к одному уравнению системы другого её уравнения, умноженного на любое число.

Заметим, что элементарные преобразования системы означают элементарные преобразования сток её расширенной матрицы.

Теорема 3.1. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений приводят её к эквивалентной системе.

§5.Системы общего вида

Теорема Кронекера-Капелли.

Рассмотрим систему

, (1)

где , , .

Теорема 5.1.(Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство. Пусть - расширенная матрица системы (1). В силу теоремы 3.1 главы 1, матрицу путем элементарных преобразований строк и перестановками столбцов можно привести к матрице - верхней трапециевидной формы. Применяя эти преобразования к расширенной матрице , получим систему

(2)

эквивалентную системе (1). В силу теоремы 6.3 гл.1

. (3)

Заметим, что матрица неизвестных может отличаться от матрицы только нумерацией неизвестных.

Система (2) является системой с верхней трапециевидной матрицей. В силу результатов §4 главы 2, система (2) совместна тогда и только тогда, когда

. (4)

Заметим, что при выполнении равенства (4), матрица является матрицей верхней трапециевидной формы, полученной из матрицы путем элементарных преобразований. В силу теоремы 6.3 гл.1

. (5)

Из равенств (3), (4)и (5) следует, что система (1) совместна тогда и только тогда, когда .

Теорема 5.2. (О структуре множества решений) Любая система линейных алгебраических уравнений c основной матрицей , расширенной матрицей и числом неизвестных либо совместна и имеет единственное решение ( , либо совместна и имеет бесконечное множество решений ( , либо не имеет ни одного решения ( .