23 Билет
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция
называется бесконечно малой функцией
в точке
,
если 
.
Аналогично определяются бесконечно
малые функции при 
.
Пользуясь определением предела функции по Коши, можно определение бесконечно малой функции сформулировать в следующем виде:
Функция
называется бесконечно малой функцией
в точке
,
если для любого положительного числа
существует такое положительное число
,
что для всех значений аргумента 
удовлетворяющих неравенствам
справедливо
неравенство
Теорема 4.4. Сумма, разность и произведение двух бесконечно малых в точке функции являются бесконечно малыми точке функциями.
Доказательство.
Пусть функции 
-произвольная
сходящаяся к
последовательность, элементы которой
отличны от
.
Тогда 
- бесконечно малые последовательности.
В силу теорем 3.1 и 3.2 
и 
- бесконечно малые последовательности.
Следовательно,
Тогда
из определения предела функции по Гейне
следует,
Теорема доказана.
Следствие.
Сумма и произведение конечного числа
бесконечно малых
функций являются бесконечно малыми
функциями.
Справедливость приведённого следствия непосредственно вытекает из теоремы 4.4.
Функция
называется ограниченной на множестве
,
если существуют такие числа 
,
что в каждой точке
множества
справедливы неравенства 
.
Теорема
4.5.
Если 
ограничена
в некоторой окрестности точки
,
а 
бесконечно малая в точке
,
то 
бесконечно малая в точке
функция.
Доказательство.
Рассмотрим произвольную последовательность
,
сходящуюся к
,
элементы которой отличны от
.
Тогда последовательность
является бесконечно малой последовательностью,
а
- ограниченной. В силу теоремы 3.2
последовательность 
является бесконечно малой, т.е. 
.
Из последнего равенства и определения
предела функции по Гейне следует
утверждение теоремы.
Функция
называется бесконечно большой 
,
если для любого
существует
такое, что для всех
,
удовлетворяющих неравенствам
,
справедливо неравенство 
.
В
этом случае пишут 
и говорят, что функция стремится к
бесконечности при 
или, что она имеет бесконечный предел
в точке
.
Если
для любого 
,
такое, что для всех
,
удовлетворяющих неравенствам
справедливо неравенство 
,
то будем говорить, что функция
имеет в точке
бесконечный предел, равный 
.
Обозначение
.
Если
для произвольного положительного числа
существует
положительное число
такое, что для всех
,
удовлетворяющих неравенствам 
справедливо неравенство
,
то будем говорить, что функция
точке
имеет правый бесконечный предел, равный
.
Обозначение
.
Если
для произвольного положительного числа
существует
положительное число
такое, что для всех
,
удовлетворяющих неравенствам 
справедливо неравенство
,
то будем говорить, что функция
точке
имеет левый бесконечный предел, равный
.
Обозначение
.
Теорема
4.5.
Если функция
является бесконечно малой в точке
и 
в некоторой окрестности этой точки, то
функция 
является бесконечно большой в точке
.
Доказательство.
Пусть 
– произвольное положительное число.
Рассмотрим положительное число 
,
для этого числа существует положительное
такое, что для всех 
,
удовлетворяющих неравенствам 
справедливо неравенство 
.
Но тогда для тех же
справедливо неравенство 
.
Т.е. 
бесконечно
большая функция в точке
.
Теорема доказана