14 Билет
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модулю разности расстояний от двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Пусть
и
- фокусы гиперболы. Обозначим расстояние
между фокусами
и
через
,
а модуль разности расстояний от
произвольной точки гиперболы до фокусов
через 
.
По определению 
,
т.е. 
.
Введём на плоскости прямоугольную
систему координат так, чтобы фокусы
гиперболы лежали на оси абсцисс. А начало
координат делило отрезок
пополам. Тогда фокусы гиперболы имеют
координаты 
.
Выведем уравнение гиперболы в выбранной
системе координат. Пусть
– произвольная точка плоскости. Обозначим
расстояния от точки
до фокусов
и
через
и
соответственно, т.е. 
,
.
Из определения гиперболы следует, что
точка
будет лежать на данной гиперболе тогда
и только тогда, когда 
.
Т.е.
.
Подставляя выражения
в равенство (12), получим
Очевидно,
что точка
лежит на гиперболе тогда и только тогда,
когда её координаты 
удовлетворяют уравнению (14). Перенесём
второй радикал в правую часть уравнения,
после чего возведём обе части в квадрат.
Снова возведём обе части уравнения в квадрат:
Обозначим
получим 
или
Как и для случая эллипса, можно доказать, что при возведении в квадрат не получены «лишние» точки,
т.е. координаты точек гиперболы и только они удовлетворяют уравнению (17). Уравнение (17) называется каноническим уравнением гиперболы.
Исследуем форму гиперболы по её каноническому уравнению.
Уравнение
(17) содержит только чётные степени
координат 
и 
.
Следовательно гипербола симметрична
относительно осей 
и
,
а также относительно начала координат.
Поэтому достаточно рассмотреть ту часть
гиперболы, которая лежит в первом
координатном угле. Для этой части
гиперболы
,
поэтому, разрешая уравнение (16) относительно
,
а затем извлекая квадратный корень,
получим
Из равенства (18) вытекают следующие утверждения.
.Если , то , т.е. точка принадлежит гиперболе.
Если
,
то 
,
причём y
возрастает неограниченно при
неограниченном возрастании
.
Точка 
на гиперболе движется с ростом
«вправо» и «вверх», её начальное
положение – точка
.
Вид гиперболы теперь можно легко установить, используя симметрию относительно координатных осей.
Рассмотрим прямую, заданную её уравнением с угловым коэффициентом
Прямая, заданная уравнением (19) называется асимптотой гиперболы. Покажем, что точка уходя по гиперболе в бесконечность, неограниченно приближается к прямой, определяемой уравнением (19).
Возьмём
произвольное значение 
и рассмотрим две точки
и 
,
где
и 
.
Тогда точка M
лежит на гиперболе, а точка N-
на прямой (19). Очевидно, прямая MN
перпендикулярная оси
.
Найдём длину отрезка MN.
Прежде
всего заметим, что 
,
т.е. 
.
Это означает, что точка M
лежит под точкой N.
Таким образом
Из
последнего равенства следует, что при
неограниченном увеличении x
длина отрезка 
уменьшается и приближается к нулю, т.к.
знаменатель 
неограниченно увеличивается, а числитель
есть постоянная величина ab.
Обозначим через P
основание перпендикуляра, опущенного
из точки M
на прямую (19). Тогда 
- расстояние от точки M
до этой прямой. Очевидно, 
,
а т.к. 
,
то и подавно 
,
т.е. точка M
неограниченно приближается к прямой
(19).
Гипербола
состоит из двух ветвей правой и левой
и имеет две асимптоты: 
и 
.
Оси
симметрии называются осями гиперболы,
а центр симметрии (точка пересечения
осей) – центром гиперболы. Одна из осей
пересекается с гиперболой в двух точках,
которые называются её вершинами. Эта
ось называется действительной осью
гиперболы. Другая ось не имеет общих
точек с гиперболой и называется мнимой
осью гиперболы. Прямоугольник 
со сторонами 2a
и 2b
называется основным прямоугольником
гиперболы. Величины a
и b
называются соответственно действительной
и мнимой полуосями гиперболы.
Рассмотрим
уравнение 
,
которое также определяет гиперболу;
вершины её лежат на оси Oy.
Эта гипербола называется сопряжённой
по отношению к гиперболе (17). Обе эти
гиперболы имеют одни и те же асимптоты.
Гипербола с равными полуосями, т.е. a=b называется равнобочной и её каноническое уравнение имеет вид
.
Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равнобочной гиперболы перпендикулярны друг другу.
Эксцентриситетом
гиперболы называется отношение
, где
- половина расстояния между фокусами,
- действительная полуось гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы обозначается
буквой 𝜀.
Так как 
,
то 
.
Учитывая, что 
,
найдём
откуда 
.
Из
последнего равенства легко получается
геометрическое истолкование эксцентриситета
гиперболы: чем ближе эксцентриситет к
единице, тем меньше отношение 
,
а это означает, что основной прямоугольник
более вытянут в направлении действительной
оси. Таким образом, эксцентриситет
гиперболы характеризует форму её
основного прямоугольник, а значит, и
форму самой гиперболы.