32 Билет

32 вопрос

Понятие дифференцируемости функции.

Пусть функция определена на некотором интервале и пусть приращение аргумента такое, что вместе с некоторым фиксированным значением , также принадлежит интервалу .

Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции в точке , соответствующее приращению аргумента , можно представить в виде

где некоторое, не зависящее от число, а бесконечно малая при функция, т.е. .

Теорема 1.1. Для того чтобы функция была дифференцируемой в данной точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость.

Пусть функция дифференцируема в данной точке , тогда приращение в этой точке представимо в виде (5). Предположив, что и поделив обе части равенства (5) на , получим

Из равенства (6) имеем

Следовательно, существует конечная производная в точке , при этом эта производная равна .

Достаточность.

Пусть функция имеет в данной точке конечную производную, т.е. существует предел .

Введем обозначение

Тогда функция является бесконечно малой при . Из равенства (7) находим . Следовательно, функция дифференцируема в данной точке .

Из теоремы 1.1 следует, что существование конечной производной в точке и дифференцируемость функции в этой точке - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют операцией дифференцирования.

Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности функции.

Теорема 1.2. Если функция дифференцируема в данной точке , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то её приращение можно представить в виде , где – постоянная, не зависящая от , а - бесконечно малая функция при . Тогда . Из последнего равенства следует непрерывность функции .

Заметим, что обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в данной точке, но не быть дифференцируемой в этой точке.

Пример. Функция непрерывна в точке 0, однако, как было показано выше, у этой функции не существует производной в точке 0. Следовательно, эта функция не дифференцируема в точке 0.

Существуют непрерывные на сегменте функции, не имеющие производной ни в одной точке этого сегмента.

7. Понятие дифференциала функции.

Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. её приращение в этой точке может быть записано в виде (5). Первое слагаемое в правой части представления (5) имеет вид , где - постоянная, не зависящая от . Если , то является главной частью приращения дифференцируемой функции. Эту главную часть приращения называют дифференциалом функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Дифференциал функции обозначается символом .

Итак, для дифференцируемой в точке функции

Если , то дифференциал считают равным нулю.

Учитывая, что для дифференцируемой в точке функции , равенство (8) можно записать в виде

Под дифференциалом независимой переменной будем понимать приращение этой переменной, т.е. , тогда равенство (9) примет вид:

.