- •2 Билет
- •3 Билет
- •4 Билет
- •5 Билет
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§5.Системы общего вида
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •6.Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •7. Определение скалярного произведения
- •8.1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •9.1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •16 Билет
- •17 Билет
- •18 Билет
- •19 Билет
- •20 Билет
- •21 Билет
- •22 Билет
- •23 Билет
- •24 Билет
- •25 Билет
- •26 Билет
- •27 Билет
- •28 Билет
- •29 Билет
- •30 Билет
- •31 Билет
- •32 Билет
- •33 Билет
- •34 Билет
- •35 Билет
- •36 Билет
- •37 Билет
- •38 Билет
- •39 Билет
- •40 Билет
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •41 Билет
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
- •42 Билет
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •43 Билет
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •44 Билет
- •45 Билет
- •2. Неопределённый интеграл.
- •46 Билет
- •Интегрирование заменой переменной.
- •47 Билет
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •48 Билет
- •49 Билет
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •50 Билет
- •Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
29 Билет
Понятие сложной функции.
Если функция определена на некотором множестве , а на множестве -значений этой функции определена функция , то функция называется сложной функцией от , а переменная - промежуточной переменной сложной функции
Теорема 5.7. (Теорема о непрерывности сложной функции). Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство. Возьмём из области определения функции произвольную последовательность , сходящуюся к точке . Тогда в силу непрерывности функции в точке имеем: , т.е. соответствующая последовательность , где
сходится к . В силу непрерывности функции в точке получим
Следовательно, предел функции в точке равен её значению в этой точке, что доказывает непрерывность функции в точке .
Приведём в качестве примера рассмотренную выше функцию . Эта функция непрерывна в каждой точке действительной прямой , т.к. функция непрерывна в любой точке , а функция непрерывна в точке .
Понятие обратной функции.
Пусть функция определена на множестве . Пусть для каждого y из области значения функции существует единственная точка из множества , такая, что . Тогда каждому элементу множества можно поставить в соответствие единственный элемент , такой, что .Следовательно, можно говорить о некоторой функции с областью определения и областью значений .
Эту функцию назовём обратной к функции и обозначим . Итак, если , то . Очевидно, что обратной к функции будет функция .
Теорема (Теорема о непрерывности обратной функции). Пусть функция непрерывна и возрастает (убывает) на некотором сегменте и . Тогда на сегменте (или ) определена обратная функция , которая возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте ( ).
30 Билет
Непрерывность простейших элементарных функций.
Показательная функция непрерывна в каждой точке x бесконечной прямой . При этом функция возрастает при и убывает при . Областью изменения функции является множество . Графики функции при и при изображены на рис.1 и 2.
2. Логарифмическая функция. Так как, на произвольном сегменте бесконечной прямой функция непрерывна и возрастает при (убывает при ), то в силу теоремы 5.8 для этой функции существует на сегменте при ( при
) обратная функция , которая непрерывна и возрастает на сегменте при (непрерывна и убывает на сегменте при ). Эта функция называется логарифмической и обозначается символом .
Поскольку левый конец мы можем неограниченно приближать к , а правый конец к , то в силу равенств , справедливых при , функция будет определена и непрерывна на всей открытой полупрямой и будет на этой полупрямой возрастать при (убывать при ). Меняя для этой функции обозначение аргумента на , а обозначении функции на , мы получим логарифмическую функцию , которая определена и непрерывна на открытой полупрямой и на этой полупрямой возрастает при (убывает при )
Графики логарифмической функции для и изображены на рис. 3 и 4.
3. Обратные тригонометрические функции. Так как функция непрерывна и возрастает на сегменте и имеет множеством своих значений сегмент , то в силу теоремы 4.7 на сегменте определена обратная функция , которая непрерывна и возрастает на этом сегменте. Меняя для этой функции обозначение аргумента на , а обозначении функции на , мы придём к функции , непрерывной и возрастающей на сегменте .
Аналогично устанавливается, что функция , обратная к непрерывной и убывающей на сегменте функции , является непрерывной и убывающей на сегменте . Функция , обратная к непрерывной и возрастающей на интервале функции , является непрерывной и возрастающей на бесконечной прямой ; функция , обратная и непрерывная к непрерывной и убывающей на интервале функции , является непрерывной и убывающей на бесконечной прямой .
Графики обратных тригонометрических функций изображены на рис. 5 – 8.
4. Степенная функция. Пусть - произвольное фиксированное вещественное число, - некоторое вещественное число, большее единицы.
Пользуясь основным логарифмическим тожеством , представим степенную функцию в виде:
т.е. как сложную функцию вида , где .
Так как , то функция возрастает на полупрямой и потому функция
возрастает при и убывает при на этой полупрямой. Отсюда и из того, что функция возрастает на всей прямой вытекает, что степенная функция возрастает при и убывает при на полупрямой .
Далее, из того, что функция непрерывна в каждой точке полупрямой , а функция непрерывна в каждой точке бесконечной прямой и из теоремы 5.7 о непрерывности сложной функции вытекает, что степенная функция непрерывна в каждой точке полупрямой .
На рис. 9 изображены графики функции для различных положительных значений .