
- •2 Билет
- •3 Билет
- •4 Билет
- •5 Билет
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§5.Системы общего вида
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •6.Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •7. Определение скалярного произведения
- •8.1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •9.1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •16 Билет
- •17 Билет
- •18 Билет
- •19 Билет
- •20 Билет
- •21 Билет
- •22 Билет
- •23 Билет
- •24 Билет
- •25 Билет
- •26 Билет
- •27 Билет
- •28 Билет
- •29 Билет
- •30 Билет
- •31 Билет
- •32 Билет
- •33 Билет
- •34 Билет
- •35 Билет
- •36 Билет
- •37 Билет
- •38 Билет
- •39 Билет
- •40 Билет
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •41 Билет
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
- •42 Билет
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •43 Билет
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •44 Билет
- •45 Билет
- •2. Неопределённый интеграл.
- •46 Билет
- •Интегрирование заменой переменной.
- •47 Билет
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •48 Билет
- •49 Билет
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •50 Билет
- •Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
11 Билет
Пучок прямых, уравнение пучка прямых.
Множество
всех прямых плоскости, проходящих через
данную точку
,
будем называть пучком прямых, проходящих
через точку
.
Пучок
прямых, проходящих через точку
будем обозначать
.
Рассмотрим
множество всевозможных прямых, проходящих
через некоторую точку
и не параллельных оси
.
Пусть
– уравнение произвольной прямой из
указанного множества. Тогда
.
Подставляя найденное выражение для
коэффициента b
в уравнение прямой, получим
Уравнение любой прямой, проходящей через точку и не параллельной оси Oy, получается из уравнения (42) при соответствующем подборе углового коэффициента k. Это уравнение называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку
Пусть
прямые
заданные
общими уравнениями
пересекаются в единственной точке .
Справедлива следующая теорема:
Теорема
2.2. Для
того, чтобы прямая
,заданная
общим уравнением
принадлежала
пучку прямых, проходящих через точку
,
необходимо и достаточно, чтобы существовали
такие действительные числа
и β,
,
что
,
,
.
Доказательство. Докажем сначала достаточность.
Пусть
выполнены равенства (45)
Докажем,
что прямая L
принадлежит пучку
.
Для этого достаточно доказать
справедливость равенства
Так как,
точка
принадлежит как прямой
,
так и прямой
,
то её координаты
,
удовлетворяют равенствам
.
(46)
Рассмотрим
выражение
.
Подставляя в место коэффициентов
соответствующие выражения из равенств
(45), получим
Достаточность доказана.
Докажем
необходимость. Пусть прямая L,
задана её общим уравнением
принадлежит пучку
,
т.е. проходящих через точку
.
Покажем, что существуют такие действительные числа и β, , что верны равенства (45).
Пусть
произвольная, отличная от
,
точка прямой L.
Положим
.
Поскольку точка
не может одновременно лежать на
,
то по крайней мере одно из чисел
или
отлично от нуля.
Рассмотрим прямую заданную уравнением
(47)
Из равенств
.
Следует, что точки и лежат на прямой, заданной уравнением (47).
Так как,
через две различные точки
и
проходит
единственная прямая, то прямая L
совпадает с прямой, заданной уравнением
(47). Необходимость доказана.
Из теоремы
следует, что прямая L
с общим уравнением
принадлежит пучку прямых, проходящих
через точку пересечения двух прямых
Тогда и только тогда, когда уравнение прямой можно представить в виде
Заметим, что уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения прямых можно получить путём соответствующего подбора и β.
В
частности, если
,
,
мы получим уравнение прямой
.
Если
,
мы получим уравнение прямой
.
12 Билет
Нормированное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой.
Нормированным
уравнением прямой называется уравнение
вида
,
которое получается из общего уравнения
путём деления его на длину
нормального вектора
.
Расстояние от точки до прямой.
Докажем,
что расстояние
точки
до прямой, заданной общим уравнением
равно
Доказательство.
Рассмотрим
на плоскости
произвольную прямую L,
определяемую общим уравнением
и вектор
.
Единичный
вектор
коллинеарен вектору
,
а поэтому ортогонален к прямой L.
Приложим вектор
к началу координат. Пусть P
- точка пересечения прямой, на которой
лежит вектор
и прямой L.
Возьмём на плоскости
произвольную точку
,
а на прямой L
-произвольную точку
.
Пусть
– проекция точки M
на прямую, на которой лежит вектор
.
Тогда очевидно, что
и будет расстоянием от точки
до прямой L.
Пусть
- угол между векторами
и
тогда