- •2 Билет
- •3 Билет
- •4 Билет
- •5 Билет
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§5.Системы общего вида
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •6.Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •7. Определение скалярного произведения
- •8.1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •9.1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •16 Билет
- •17 Билет
- •18 Билет
- •19 Билет
- •20 Билет
- •21 Билет
- •22 Билет
- •23 Билет
- •24 Билет
- •25 Билет
- •26 Билет
- •27 Билет
- •28 Билет
- •29 Билет
- •30 Билет
- •31 Билет
- •32 Билет
- •33 Билет
- •34 Билет
- •35 Билет
- •36 Билет
- •37 Билет
- •38 Билет
- •39 Билет
- •40 Билет
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •41 Билет
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
- •42 Билет
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •43 Билет
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •44 Билет
- •45 Билет
- •2. Неопределённый интеграл.
- •46 Билет
- •Интегрирование заменой переменной.
- •47 Билет
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •48 Билет
- •49 Билет
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •50 Билет
- •Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
1. . Поскольку , для любого n. формула Маклорена (10) имеет вид:
Где остаточный член имеет вид:
в форме Лагранжа ,
в форме Пеано .
. Так как , то
то по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
3. . Так как
=
то по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:
4. , где - любое действительное число. Так как
,
то формула (10) примет вид
где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид
В частном случае, когда , где n – натуральное число, , следовательно, и мы получаем известную формулу Бинома Ньютона
5. . Так как , . , то формула (10) примет вид
где остаточный член в форме Лагранжа равен ,
43 Билет
Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости.
Пусть функция дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда, как известно, в каждой точке графика функции существует касательная, при этом эта касательная не параллельна .
Будем говорить, что график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (соответственно не выше) любой своей касательной.
Справедлива следующая теорема:
Теорема 5.1. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале и её вторая производная неотрицательна ( сооответственно неположительна) всюду на интервале , тогда график функции имеет на указанном интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).
Доказательство. Для определённости рассмотрим случай, когда вторая производная всюду на интервале . Пусть - произвольная точка интервала . Нам нужно доказать, что график функции в пределах интервала лежит не ниже касательной, проходящей через точку .
Запишем уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке :
Где Y - ордината текущей точки касательной.
Так как функция дважды дифференцируема на интервале , то к функции в окрестности точки можно применить формулу Тейлора:
где - некоторая точка, заключённая между и . Учитывая, что из равенства (2) получим
Сопоставляя неравенство (3) и равенство (1), мы приходим к выводу, что . Это неравенство доказывает, что график функции всюду в пределах интервала лежит не ниже касательной, т.е. график функции имеет выпуклость, направленную вниз.
Аналогично доказывается теорема для случая .
Теорема 5.2. Пусть вторая производная функции непрерывна и положительна (соответственно отрицательна) в точке . Тогда существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх).
Доказательство. Так как непрерывна в точке и , то по теореме 5.2 гл. 5 (об устойчивости знака непрерывной функции) найдётся такая окрестность точки , в пределах которой вторая производная положительна (соответственно отрицательна). Тогда по теореме 5.1, график функции имеет в пределах этой окрестности выпуклость направленную вниз (соответственно вверх).
Теорема 5.2 доказана.