Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpora_vyshka.doc
Скачиваний:
5
Добавлен:
17.04.2019
Размер:
39.43 Mб
Скачать

4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

1. . Поскольку , для любого n. формула Маклорена (10) имеет вид:

Где остаточный член имеет вид:

в форме Лагранжа ,

в форме Пеано .

. Так как , то

то по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

3. . Так как

=

то по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:

4. , где - любое действительное число. Так как

,

то формула (10) примет вид

где остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

В частном случае, когда , где n – натуральное число, , следовательно, и мы получаем известную формулу Бинома Ньютона

5. . Так как , . , то формула (10) примет вид

где остаточный член в форме Лагранжа равен ,

43 Билет

Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости.

Пусть функция дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда, как известно, в каждой точке графика функции существует касательная, при этом эта касательная не параллельна .

Будем говорить, что график функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх), если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (соответственно не выше) любой своей касательной.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 5.1. Пусть функция дважды дифференцируема на интервале и её вторая производная неотрицательна ( сооответственно неположительна) всюду на интервале , тогда график функции имеет на указанном интервале выпуклость, направленную вниз (вверх).

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай, когда вторая производная всюду на интервале . Пусть - произвольная точка интервала . Нам нужно доказать, что график функции в пределах интервала лежит не ниже касательной, проходящей через точку .

Запишем уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке :

Где Y - ордината текущей точки касательной.

Так как функция дважды дифференцируема на интервале , то к функции в окрестности точки можно применить формулу Тейлора:

где - некоторая точка, заключённая между и . Учитывая, что из равенства (2) получим

Сопоставляя неравенство (3) и равенство (1), мы приходим к выводу, что . Это неравенство доказывает, что график функции всюду в пределах интервала лежит не ниже касательной, т.е. график функции имеет выпуклость, направленную вниз.

Аналогично доказывается теорема для случая .

Теорема 5.2. Пусть вторая производная функции непрерывна и положительна (соответственно отрицательна) в точке . Тогда существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет выпуклость, направленную вниз (соответственно вверх).

Доказательство. Так как непрерывна в точке и , то по теореме 5.2 гл. 5 (об устойчивости знака непрерывной функции) найдётся такая окрестность точки , в пределах которой вторая производная положительна (соответственно отрицательна). Тогда по теореме 5.1, график функции имеет в пределах этой окрестности выпуклость направленную вниз (соответственно вверх).

Теорема 5.2 доказана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]