- •2 Билет
- •3 Билет
- •4 Билет
- •5 Билет
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§5.Системы общего вида
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •6.Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •7. Определение скалярного произведения
- •8.1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •9.1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •16 Билет
- •17 Билет
- •18 Билет
- •19 Билет
- •20 Билет
- •21 Билет
- •22 Билет
- •23 Билет
- •24 Билет
- •25 Билет
- •26 Билет
- •27 Билет
- •28 Билет
- •29 Билет
- •30 Билет
- •31 Билет
- •32 Билет
- •33 Билет
- •34 Билет
- •35 Билет
- •36 Билет
- •37 Билет
- •38 Билет
- •39 Билет
- •40 Билет
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •41 Билет
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
- •42 Билет
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •43 Билет
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •44 Билет
- •45 Билет
- •2. Неопределённый интеграл.
- •46 Билет
- •Интегрирование заменой переменной.
- •47 Билет
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •48 Билет
- •49 Билет
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •50 Билет
- •Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
4. Уравнение прямой в отрезках.
Пусть дано общее уравнение прямой, лежащей в плоскости . . Предположим, что коэффициенты отличны от нуля. . Тогда общее уравнение прямой можно записать в следующем виде
Вводя обозначения , последнее уравнение можно записать в виде
Уравнение (12) называется уравнением прямой в отрезках. Уравнение (12) имеет простой геометрический смысл: стоящие в нём числа равны величинам направленных отрезков , отсекаемых прямой на осях соответственно.
Замечание. Очевидно, что если хотя бы один из коэффициентов равен нулю, то приводить такое уравнение прямой к уравнению в отрезках невозможно.
Общее уравнение прямой называется полным, если все коэффициенты отличны от нуля, и неполным в противном случае.
5. Неполные уравнения прямой.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений.
. Тогда уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат.
. Тогда уравнение определяет прямую, параллельную оси . (т.к. нормальный вектор ортогонален оси .
. Тогда уравнение определяет прямую, параллельную оси . (т.к. нормальный вектор ортогонален оси .
. Уравнение определяет ось .
. Уравнение определяет ось .
6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
Пусть в плоскости заданы две различные точки и . Предположим, что
.
Пусть - прямая проходящая через точки и Выведем уравнение этой прямой. Очевидно, что ненулевой вектор является направляющим вектором прямой . Записывая каноническое уравнение прямой , как прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , получим
Уравнение (13) является уравнением прямой, проходящей через заданные две точки и , при условии, что .
Если , то очевидно, уравнением такой прямой будет . Если же , то уравнением такой прямой будет .
10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Введём понятие угла наклона прямой к оси . Предположим сначала, что прямая не параллельна оси . Углом наклона прямой к оси называется наименьший угол , на который нужно повернуть ось против часовой стрелки до совмещения с прямой. Если прямая параллельна оси или совпадает с ней, то угол наклона этой прямой к оси будем считать равным нулю.
Тангенс угла наклона прямой к оси назовём угловым коэффициентом этой прямой и обозначим через .
Итак, по определению .
Из определения углового коэффициента, в частности следует, что если прямая параллельна оси , то угловой коэффициент равен нулю. Если прямая перпендикулярна оси , т.е. не определен. В этом случае прямая не имеет углового коэффициента, хотя иногда формально говорят, что угловой коэффициент такой прямой равен бесконечности.
Пусть прямая проходит через данную точку и имеет угловой коэффициент . Выведем уравнение прямой.
Для этого убедимся в том, что для любой, не параллельной оси прямой, имеющей направляющий вектор , угловой коэффициент равен отношению .
Обозначим через угол наклона прямой к оси , а через 𝜑 – угол наклона направляющего вектора к оси и рассмотрим следующие четыре возможных случая.
В случаях 1 и 2 . Поэтому
В случаях 3 и 4 угол и поэтому
Таким образом, в случаях 1 и 2 получим , а в случаях 3 и 4
Итак, во всех четырёх возможных случаях .
Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку , имеющей направляющий вектор .
Из последнего уравнения имеем .
Обозначая через постоянную , получим
Уравнение (14) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
В уравнении (14) коэффициент имеет простой геометрический смысл: он равен величине направленного отрезка , отсекаемого прямой на оси Оу .