16 Билет
Линейные преобразования декартовых прямоугольных координат.
В задачах аналитической геометрии часто приходится, наряду с данной прямоугольной системой координат, вводить и другие прямоугольные системы координат. Естественно возникает вопрос: как найти координаты какой либо точки в одной системе координат, зная её координаты в другой системе координат.
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:
Параллельный сдвиг осей. Когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;
Поворот осей координат. Когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.
Рассмотрим сначала преобразования координат первого типа.
1. Параллельный сдвиг.
Пусть в
прямоугольной системе координат 
,
точка M
имеет координаты 
. Новые оси координат 
и 
выберем сонаправленными со старыми
осями Ox
и Oy.
Пусть 
координаты точки M
в системе
установим связь между координатами и .
Так как,
x
– величина направленного отрезка 
,
y
– величина направленного отрезка 
,
- величина направленного отрезка 
,
- величина направленного отрезка 
,
то
Из последних равенств находим
или
Формулы (27) и (28) определяют связь между координатами и , т.е. связь между старыми и новыми координатами произвольной точки плоскости M.
2. Поворот осей координат
Пусть
система координат 
получена путём поворота системы координат
на угол
.
Пусть
(x,y)
координаты точки M
в системе координат
,
координаты
этой же точки M
в новой системе координат
.
Установим связь между координатами и .
Т.к. - координаты точки , то
где 
- единичные векторы, имеющие направление
осей Ox
и Oy
соответственно.
Пусть
и
- единичные векторы, полученные поворотом
векторов
и 
на угол
.
Очевидно, векторы
имеют направления, совпадающие с
направлениями осей 
и 
соответственно. Т.к.
- координаты точки
в системе координат 
,
то
Из равенства (30) следует, что
Из равенства (29) следует, что
Из равенств (31), (32), (33), (34) следует, что
Равенства (35) позволяют находить координаты точки в системе координат , зная её координаты в системе координат .
Рассматривая равенства (35), как систему линейных алгебраических уравнений и разрешая эту систему относительно , мы можем выразить и через и .
Действительно, определитель основной матрицы равен (35)
Т.к. 
,
мы можем найти
по формулам Крамера
Матрица
называется матрицей преобразования координат.
Равенства (35), (37) можно записать в следующем виде
Матрица
A,
для которой 
называется ортогональной матрицей.
Легко убедиться, что матрица преобразования
координат (38) является ортогональной
матрицей.
17 Билет
5. Общее уравнение линии второго порядка.
Уравнение
где
хотя бы один из коэффициентов A,B,C
отличен от нуля, называется общим
уравнением линии второго порядка.
Коэффициенты 
называются старшими коэффициентами, а
выражение 
– инвариантом уравнения (39).
Лемма
3.1.
Пусть в прямоугольной системе координат
задано уравнение (39) и пусть 
.
Тогда с помощью параллельного сдвига
и последующего поворота осей координат
уравнение (39) приводится к виду
где
- некоторые числа; 
- координаты точки в новой системе
координат.
Классификация линий второго порядка.
В зависимости от знака инварианта общее уравнение линии второго порядка разделяются на следующие три типа:
эллиптический тип;
гиперболический тип;
параболический тип.
Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение линии второго порядка
Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:
(эллипс)
(мнимый эллипс)
(пара мнимых пересекающихся прямых)
(гипербола)
(пара пересекающихся прямых)
(парабола)
(пара параллельных прямых)
(пара мнимых параллельных прямых)
(пара совпадающих прямых)
Линии эллиптического типа.
Для
этого случая 
.
Поэтому, согласно лемме 3.1, обшее уравнение
линии второго порядка 
путём
преобразования координат (параллельный
перенос и поворот на определённый угол
можно) привести к виду
Очевидно, при преобразовании координат, сама линия не меняется, а меняется только вид её уравнения. Поэтому мы можем вместо общего уравнения линии второго порядка (39) исследовать уравнение более простого вида, а именно уравнение (47).
В
уравнении (47) коэффициент
Тогда из свойства инварианта 
,
следует:
(48)
Итак,
для линии эллиптического типа имеем:
.
Возможны следующие случаи:
а)
,
(случай 
сводится к случаю
,
умножением уравнения на 
и 
Для этого случая из уравнения (47)
принимает вид:
(49)
Обозначая-
и- 
,
получим
(50)
Уравнение (50) является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, для рассматриваемого случая, уравнение (47) определяет эллипс.
б)
,
и 
.
Тогда уравнение (47) можно записать в
виде:
Для
данного случая 
,
.
Вводя обозначения 
,
из уравнения (51) найдем
Этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса.
в)
,
,
.
Уравнение (47) имеет вид
(51)
где
Этому уравнению удовлетворяют координаты
единственной точки 
Уравнение (51) называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых.
2)Гиперболический тип.
.
Согласно лемме 3.1 общее уравнение линии
второго порядка приводится к уравнению
(47). При этом 
.
Возможны следующие случаи:
а)
(случай
сводится к случаю 
умножением уравнения на 
)
и 
.
Для этого случая уравнение (47) можно
записать в виде
(52)
Поэтому можно вводить обозначения 
,
в результате, уравнение (52) принимает
вид
. (53)
б)
Легко показать, что для этого случая
уравнение (47) принимает вид
(54)
Уравнение
(54) является уравнением гиперболы,
вершины которой находятся на оси 
в)
Тогда уравнение (47) имеет вид
Вводя
обозначения 
,
получим
(55)
Уравнению
(55) удовлетворяют только координаты
точек, расположенных на прямых 
и 
Таким образом, в рассматриваемом случае
уравнение (47) определяет пару пересекающихся
прямых.
3.
Параболический
тип.
Если 
,
то поворотом осей координат на угол
,
который был рассмотрен при доказательстве
леммы 3.1, общее уравнение линии второго
порядка может быть приведено к виду
Т.к.
выражение 
является инвариантом относительно
поворота осей координат, то 
.
Т.е либо 
,
либо 
.
Пусть
и 
.
Тогда уравнение (55) примет вид
Представим последнее уравнение в виде
или
Перенесём
начало координат параллельно оси
в точку 
и перейдём к новым координатам 
и 
,
тогда
Учитывая последние равенства в уравнении (56), получим
где
.
Рассмотрим два случая.
а)
,
тогда уравнение (51) можно записать в
следующем виде
Перенесём
начало координат параллельно оси 
в точку 
,
получим 
,
.
Учитывая последние равенства в уравнении
(58), получим
или 
,
где 
.
Следовательно, в этом случае уравнение (55) определяет параболу.
б)
.
Тогда уравнение (51) примет вид
Если
и 
имеют разные знаки, то уравнение (53)
можно записать в следующем виде:
где
.
Уравнение
(60) в свою очередь можно записать в виде
.
Это уравнение определяет пару параллельных
прямых 
и 
.
Если
и
имеют одинаковые знаки, то уравнение
(53) примет вид: 
,
где 
.
Очевидно последнему уравнению не
удовлетворяют координаты никакой точки
плоскости. Оно называется уравнением
пары мнимых параллельных прямых.
Наконец,
если 
,
то уравнение (53) примет вид 
или 
.
Последнее уравнение определяет ось 
и оно называется уравнением пары
совпадающих прямых.