- •2 Билет
- •3 Билет
- •4 Билет
- •5 Билет
- •§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.
- •§5.Системы общего вида
- •§4. Системы с верхней трапециевидной матрицей.
- •§6. Однородные системы линейных алгебраических уравнений.
- •6.Декартовы координаты на прямой.
- •§2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве.
- •§3. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •§4. Проекция вектора на ось и её свойства.
- •7. Определение скалярного произведения
- •8.1. Расстояние между двумя точками
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Полярная система координат.
- •9.1. Параметрические уравнения прямой.
- •2. Каноническое уравнение прямой в плоскости.
- •3. Общее уравнение прямой в плоскости.
- •4. Уравнение прямой в отрезках.
- •5. Неполные уравнения прямой.
- •6. Уравнение прямой, проходящей через заданные две точки.
- •10. . Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
- •10.. Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.
- •11 Билет
- •12 Билет
- •13 Билет
- •14 Билет
- •15 Билет
- •16 Билет
- •17 Билет
- •18 Билет
- •19 Билет
- •20 Билет
- •21 Билет
- •22 Билет
- •23 Билет
- •24 Билет
- •25 Билет
- •26 Билет
- •27 Билет
- •28 Билет
- •29 Билет
- •30 Билет
- •31 Билет
- •32 Билет
- •33 Билет
- •34 Билет
- •35 Билет
- •36 Билет
- •37 Билет
- •38 Билет
- •39 Билет
- •40 Билет
- •2. Второе правило Лопиталя.
- •3. Другие виды неопределённостей и их раскрытие.
- •41 Билет
- •2. Другая запись формулы Тейлора и остаточного члена в форме пеано.
- •42 Билет
- •4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.
- •43 Билет
- •2. Точки перегиба графика функции.
- •44 Билет
- •45 Билет
- •2. Неопределённый интеграл.
- •46 Билет
- •Интегрирование заменой переменной.
- •47 Билет
- •1. Площадь криволинейной трапеции.
- •48 Билет
- •49 Билет
- •§4. Основная формула интегрального исчисления.
- •50 Билет
- •Несобственный интеграл первого рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
24 Билет
Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
Теорема 4.2. Пусть функции и имеют в точке пределы и эти пределы соответственно равны и . Тогда функции ,
имеют в точке пределы, равные соответственно Если кроме этого, , то в точке существует предел функции равный .
Доказательство. Пусть - произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента, элементы которой отличны от . Тогда последовательности и сходятся соответственно к пределам и . Но тогда, в силу теоремы 3.7, последовательности
и (при ) имеют пределы, соответственно равные и . Последнее утверждение, в силу определения предела функции по Гейне, означает, что , , . Теорема 4.2 доказана.
Теорема 4.3. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и имеют в этой точке равные пределы. Пусть кроме этого выполняются неравенства . Тогда существует при этом .
Доказательство. Пусть - произвольная, сходящаяся к последовательность, элементы которой отличны от . Тогда соответствующие последовательности и имеют предел, и эти пределы равны. Из условия теоремы следует, что . Тогда согласно теореме 3.9 Следовательно, существует и и при этом . Теорема 4.3 доказана
Пусть f(x) и g(x) имеют пределы в точке а и они соответственно равны В и С.
f(x) +g(x), f(x) - g(x), f(x)g(x) имеют в точке а придел при этом,
lim(x->a)( f(x) +g(x), f(x) - g(x)) = B+-C
Предел произведения будет равнятся произведению ВС
Если С не равняется 0, то существует предел отношения,
ктр будет равнятся отношению В к С
25 Билет
Теорема 3.8. (о предельном переходе в неравенствах). Если элементы сходящейся последовательности , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству
, то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству .
Доказательство. Пусть все элементы , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству . Докажем, что . Предположим обратное, т.е. . Рассмотрим положительное число . Для этого числа существует номер такой, что для всех верно неравенство . Раскрывая модуль, получим . Из правого неравенства следует .
Последнее неравенство противоречит условию теоремы. Теорема 3.8 доказана.
Следствие 1. Если элементы сходящихся последовательностей и , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то их пределы удовлетворяют неравенству
Действительно, рассмотрим последовательность . Из условия имеем, что начиная с некоторого номера, члены последовательности неотрицательны, т.е. . Тогда из теоремы 3.8 следует, что . Т.е. .
26 Билет
Первый замечательный предел. Докажем справедливость равенства
Рассмотрим окружность радиуса 1, с центром в начале координат. Обозначим радиальную меру угла через .
Тогда . Очевидно, что площадь меньше площади сектора , которая меньше площади . Т.к. ,
, то . Учитывая равенства (8) в последних неравенствах, найдём
.
Разделив обе части неравенств (9) на ,получим
или .
Из неравенств (10) находим
.
Т.к., , то , поэтому из неравенств (11) имеем
.
Из неравенств (12) и теоремы (4.3) следует
Из последнего равенства следует справедливость равенство (7).
Второй замечательный предел. . Ранее мы доказали, что
.
Третий замечательный предел. Докажем, что . Действительно
. Пусть . Тогда при . Поэтому . Тогда .
Четвёртый замечательный предел. Докажем, что .
Очевидно, что если , то равенство (14) выполнено. Пусть и .
Введем обозначение = . Тогда при . При этом, .
Пятый замечательный предел. Докажем, что .Пользуясь основным логарифмическим тождеством, представим в виде . Обозначим . Тогда при .
Из равенства (14) имеем и . Т.е.