12. Принцип суперпозиции. Групповая скорость

Если среда, в которой распространяется одновременно несколько волн, линейна, т.е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.

Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье, любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т.е. в виде волнового пакета или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства.

«Сконструируем» простейший волновой пакет из двух распространяющихся вдоль положительного направления оси х гармонических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем . Тогда

В этой формуле есть амплитуда. Поэтому образовавшаяся волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t.

За скорость распространения этой негармонической волны (волнового пакета) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматривая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что , получим

(11.74)

Скорость и есть групповая скорость. Ее можно определить как скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Хотя выражение (11.74) получено для волнового пакета из двух составляющих, можно доказать, что оно справедливо в самом общем случае. Рассмотрим связь между групповой и фазовой скоростями. Получим

(11.75)

Из формулы (11.75) вытекает, что и может быть как меньше, так и больше v в зависимости от знака .

В недиспергирующей среде и групповая скорость совпадает с фазовой.

Понятие групповой скорости очень важно, так как именно она фигурирует при измерении дальности в радиолокации, в системах управления космическими объектами и т.д. В теории относительности доказывается, что групповая скорость , в то время как для фазовой скорости ограничений не существует.

13. Энергия упругой волны

Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна  = a cos ( t − kx).

Выделим в среде элементарный объем ДV, настолько малый, что скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, и .

Обозначим плотность среды через , а скорость движения – через . Тогда масса выделенного объема равна . Выделенный нами объем обладает кинетической энергией

(11.76)

Относительное удлинение цилиндра есть . Модуль Юнга среды – Е. Тогда рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации

(11.77)

Так как скорость распространения продольных волн , заменим в (11.77) модуль Юнга через сх². Тогда выражение для потенциальной энергии объема ДV примет вид

(11.78)

Выражения (11.76) и (11.78) в сумме дают полную энергию

(11.79)

Разделив эту энергию на объем ДV, в котором она содержится, получим плотность энергии

(11.80)

Дифференцируем выражение для один раз по t, другой раз по x . Получим , _.

Подставив эти выражения в формулу (11.80) и приняв во внимание, что k²х² = щ², получим

(11.81)

В поперечной волне плотность энергии получает такое же выражение.

Из (11.81) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соответственно, среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды равно

(11.82)

Плотность энергии и ее среднее значение пропорциональны плотности среды с, квадрату частоты щ и квадрату амплитуды волны А. Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости волны, но и для других видов волн (плоской затухающей, сферической и т.д.).

Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность переносится за время dt энергия dЕ, то поток энергии Ф равен

(11.83)

Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т.е. совпадает с размерностью мощности. В соответствии с этим Ф измеряется в ваттах, эрг/с и т. п.

Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.

Пусть через площадку , перпендикулярную направлению распространения волны, переносится за время ∆t энергия ∆Е. Тогда плотность потока энергии равна

(11.84)

Через площадку (рис. 6.1) за время ∆t будет перенесена энергия ∆Е, заключенная в объеме цилиндра с основанием и высотой v∆t (v – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости и ∆t) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ∆Е можно найти как произведение плотности энергии w на объем цилиндра, равный : .

Подставив это выражение в формулу (11.84), получим выражение для плотности потока энергии:

(11.85)

Наконец, введя вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно написать, что

j = wv (11.86)

Рис. 11.14

Мы получили выражение для вектора плотности потока энергии (интенсивности волны). Этот вектор был впервые введен на рассмотрение выдающимся русским физиком Н.А.Умовым и называется вектором Умова. Вектор (6.10), как и плотность энергии w, различен в разных точках пространства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно .

Данное выражение, так же как и (11.82), справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т.д.).