8. Момент импульса относительно неподвижного центра

По аналогии с моментом силы, моментом импульса материальной точки (частицы) относительно точки О называется векторная величина

(6.31)

В этой формуле – импульс частицы. Модуль момента импульса

_, (6.32)

где называется плечом импульса (рис.6.3).

Таким образом, момент импульса равен произведению плеча импульса на модуль вектора импульса.

Рис. 6.3. Направление и модуль импульса со временем изменяются. При этом изменяются и плечо, а также модуль и направление вектора . Вектор изображен в виде кружка с крестиком внутри. Следовательно, он направлен “от нас”.

Частица обладает моментом импульса независимо от формы траектории, по которой она движется. Рассмотрим два частных случая.

1. Частица движется вдоль прямолинейной траектории (рис.6.4). Модуль момента импульса

(6.33)

может изменяться только за счет изменения модуля скорости.

Рис.6.4

2. Частица движется по окружности радиуса (рис.6.5). Модуль момента импульса относительно центра окружности равен и так же, как и в предыдущем случае, может изменяться только за счет изменения модуля скорости. Несмотря на непрерывное изменение направления вектора , направление вектора остается постоянным.

(6.34)

Рис. 6.5

9. Закон сохранения момента импульса

Выясним, от чего зависит изменение момента импульса частицы. С этой целью продифференцируем выражение (6.31) с учетом определения импульса частицы по времени: .

Согласно второму закону Ньютона – результирующая сил, действующих на частицу. По определению . Поэтому можно написать, что .

Второе слагаемое является векторным произведением коллинеарных векторов и поэтому равно нулю. Первое слагаемое представляет собой момент силы относительно той же точки, относительно которой взят момент импульса. Следовательно, мы приходим к соотношению

(6.35)

Согласно уравнению (6.35) скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.

Рассмотрим систему частиц, на которые действуют как внутренние, так и внешние силы. Моментом импульса системы относительно точки О называется сумма моментов импульса отдельных частиц:

(6.36)

Дифференцирование по времени дает, что

(6.37)

В соответствии с (6.35) для каждой из частиц можно написать равенство , где – момент внутренних сил, а – момент внешних сил, действующих на i-ую частицу. Подставим их в равенство (6.37), получим соотношение .

Каждое из слагаемых в этих суммах представляет собой сумму моментов сил, действующих на i-ую частицу. Суммирование осуществляется по частицам. Если перейти к суммированию по отдельным силам, независимо от того, к какой из частиц они приложены, индекс I в суммах можно опустить.

Можно показать, что сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю. Поэтому получаем, что

(6.38)

Отсюда видно, что производная по времени от момента импульса системы равна сумме моментов внешних сил.

Если система замкнута, правая часть равенства (6.38) равна нулю и, следовательно, вектор не изменяется со временем. Отсюда вытекает закон сохранения момента импульса, который гласит, что момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы материальных точек, если сумма моментов внешних сил равна нулю.