15. Гироскоп

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике, наиболее интересны в этом плане гироскопы.

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. У симметричного тела направления момента импульса и угловой скорости совпадают, поэтому . Вследствие массивности гироскопа его момент инерции очень велик, велика также угловая скорость.

Рассмотрим гироскоп, ось которого закреплена одним концом в шарнире О, вокруг которого она может поворачиваться без трения произвольным образом (рис. 7.15).

Рис.7.15. Ось гироскопа ОА, ось ВВ и сила F лежат в плоскости чертежа. Векторы М и направлены за чертеж. Ось DD перпендикулярна к плоскости чертежа

Попытаемся повернуть ось гироскопа ОА вокруг оси DD, подействовав на свободный конец оси силой F в течение времени dt. Однако гироскоп «проявит непослушание» – его ось повернется не вокруг оси DD, а вокруг оси ВВ, приняв положение ОА'. Это, казалось бы, противоестественное поведение гироскопа называют гироскопическим эффектом.

Гироскопический эффект находится в полном согласии с законами механики твердого тела. Действительно, согласно уравнению изменения момента импульса со временем в результате действия силы F в течение времени dt момент импульса L получит приращение . Обозначим через М – момент силы F относительно точки О. Тогда изменение момента импульса равно . Новое значение момента импульса, равно . Оно окажется повернутым вокруг оси ВВ относительно первоначального значения L. Поскольку вектор L направлен вдоль оси гироскопа, вместе с L повернется и ось, перейдя из положения О А в положение О А'.

Гироскопический эффект является причиной того, что хорошо раскрученный детский волчок не опрокидывается под действием силы тяжести. Это действие приводит лишь к тому, что ось волчка поворачивается, описывая конус. Такое движение оси называется прецессией.

Рассмотрим простейший вид прецессии, называемый регулярной прецессией. Пусть один из концов оси гироскопа закреплен в шаровом шарнире О, позволяющем ей свободно поворачиваться в любом направлении (рис. 7.15). На гироскоп действует сила тяжести, которая лежит в вертикальной плоскости ОАО'. Обозначим через т – массу гироскопа вместе с осью. Момент силы М перпендикулярен к этой плоскости. Пусть b – расстояние от шарнира О до центра масс гироскопа С, – угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Тогда плечо силы . За время dt момент импульса получает приращение , в результате чего вертикальная плоскость, в которой лежат ось гироскопа и сила тяжести mg, поворачивается на угол . Вместе с ней поворачивается и вектор . Расстояние О'А численно равно .

Таким образом, на гироскоп действует опрокидывающий момент . Будем откладывать вектор момента импульса гироскопа L из точки О. В момент времени t вектор L изображается отрезком ОА. За время dt вектор L получит перпендикулярное к нему приращение _, в результате чего он, оставаясь постоянным по модулю и не изменяя угла с вертикалью, переходит в положение ОВ. В новом положении имеет место такое же взаимное расположение векторов L и М, какое было в момент t. Поэтому за последующий элемент времени dt вертикальная плоскость, в которой лежит ось гироскопа, снова повернется на угол и т.д. В итоге ось гироскопа будет поворачиваться вокруг вертикальной оси, описывая конус с углом раствора 2. При этом вектор L будет изменяться только по направлению, оставаясь неизменным по модулю. Это объясняется тем, что элементарные приращения все время будут перпендикулярными вектору L. Аналогично ведет себя вектор скорости при равномерном движении частицы по окружности. Вектор v получает за время dt перпендикулярное к нему приращение , где – постоянное по модулю нормальное ускорение. В результате изменяется только направление вектора , модуль же его остается постоянным.

Рис. 7.16.

Таким образом, в поле сил тяжести ось гироскопа с неподвижной точкой поворачивается вокруг вертикали, описывая конус. В случае, когда , конус вырождается в плоскость. Такое движение гироскопа называется регулярной прецессией. Угловую скорость прецессии можно найти, разделив угол на соответствующее время dt. Из рис. 7.16 следует, что .

Из соотношения вытекает, что. Поэтому .

Отсюда, с учетом того, что , a получаем формулу

(7.37)

Здесь I – момент инерции вращающихся частей гироскопа, – угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси, – расстояние oт центра масс гироскопа.

Из формулы (7.37) видно, что угловая скорость прецессии не зависит от угла , образованного осью гироскопа с направлением вверх по вертикали (этот угол может иметь значения от 0 до ).

Нужно иметь в виду, что формула (7.37) справедлива только при условии, что

(7.38)

Действительно, прецессирующий гироскоп участвует одновременно в двух вращениях, совершающихся со скоростью и . Поэтому его момент импульса определяется выражением, более сложным, чем . Только при соблюдении условия (7.38) можно полагать, что .

Из формулы (7.37) следует, что условие (7.38) эквивалентно условию , т.е. .

Выражение mgb по порядку величины равно потенциальной энергии гироскопа Е_р. Выражение по порядку есть кинетическая энергия гироскопа Е_к.. Поэтому условие справедливости формулы (7.37) можно представить в виде ^.

Вычислим полную механическую энергию гироскопа. За нуль примем значение потенциальной энергии при . Будем считать, что можно пренебречь по сравнению с . Тогда полная механическая энергия гироскопа определяется выражением .

В отсутствие трения полная энергия сохраняется, следовательно, также не уменьшается. Отсюда следует, что = const. К этому результату мы уже пришли ранее.