Контрольные вопросы

1. Когда и почему необходимо рассматривать силы инерции?

2. Что такое силы инерции? Чем они отличаются от сил, действующих в инерциальных системах отсчета?

3. Как направлены центробежная сила инерции и сила Кориолиса? Когда они проявляются? От чего зависят?

4. Как изменится модуль центробежной силы инерции, если скорость вращения системы отсчета увеличить в n раз?

5. Может ли сила Кориолиса изменить скорость частицы?

6. Чему равна сила Кориолиса в случае, когда скорость частицы параллельна оси вращения системы отсчета?

7. В северном полушарии производится выстрел вдоль меридиана на север. Как скажется на движении снаряда суточное вращение Земли?

8. Почему пассажир, стоящий у правой (по ходу поезда) двери движущегося вагона метро, при его повороте оказался прижатым к двери?

Лекция №11. Механические колебания и волны

1. Гармонические колебания и их характеристики

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Если этот процесс совершается через равные промежутки времени, то колебание называется периодическим. Наглядным примером такого колебания может служить движение часового механизма.

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Вибрация натянутой струны, движение поршня дизеля, суточные и годичные изменения температуры воздуха, морские приливы и отливы, волнение водной поверхности, биение сердца, дыхание, тепловое движение ионов кристаллической решетки твердого тела, качание маятника часов, переменный электрический ток и т.д. – все это в конечном счете колебательные процессы. При колебательном движении маятника изменяется координата его центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и ток в цепи. Физическая природа колебаний может быть разной, поэтому различают колебания механические, электромагнитные и др. Однако различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Отсюда следует целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физической природы. Например, единый подход к изучению механических и электромагнитных колебаний применялся английским физиком Д.У.Рэлеем (1842–1919), А.Г.Столетовым, русским инженером-экспериментатором П.Н.Лебедевым (1866–1912). Большой вклад в развитие теории колебаний внесли советский физик Л. И. Мандельштам (1879–1944) и его ученики.

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса). Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; 2) различные периодические процессы можно представить как наложение гармонических колебаний.

С основными закономерностями и характеристиками гармонического колебания проще всего познакомиться на примере равномерного движения материальной точки по окружности. Пусть материальная точка М движется по часовой стрелке по окружности радиусом ОМ=А с постоянной угловой скоростью (рис.11.1) .

Тогда ее проекция N на горизонтальный диаметр будет совершать периодические колебания около положения равновесия О, а величина смещения этой проекции – изменяться в пределах от +А до – А, также совершая периодические колебания. Величина смещения в любой момент времени определяется очевидным соотношением

(11.1)

Рис.11.1

Из определения угловой скорости следует, что

Тогда формулу (11.1) можно написать в виде

(11.2)

Если точка М проецируется на вертикальный диаметр, колеблющаяся величина х изменяется со временем по закону косинуса:

(11.3)

В общем случае гармонические колебания величины х описываются уравнением типа

(11.4)

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебаний, – круговая (циклическая) частота, – начальная фаза колебаний в момент времени , – фаза колебаний в момент времени t.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания). Для этих колебаний циклическую частоту обозначим как .

Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебания. За это время фаза колебания получает приращение 2л, т.е. =, откуда

(11.5)

Величина, обратная периоду колебаний,

(11.6)

т.е. число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. Сравнивая (11.5) и (11.6), получим .

Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1с совершается один цикл процесса.

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s (соответственно скорость и ускорение):

, (11.7)

, (11.8)

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин (11.7) и (11.8) соответственно равны и . Фаза скорости (11.7) отличается от фазы величины (11.1) на , а фаза ускорения (11.8) отличается от фазы величины (11.1) на л. Следовательно,

– в моменты времени, когда х = 0, v приобретает наибольшие значения;

–  когда же х достигает максимального отрицательного значения, то a приобретает наибольшее положительное значение (рис. 11.2).

Рис.11.1

Из выражения (11.8) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

(11.9)

Решением этого уравнения являются выражения (11.1), (11.3) или (11.4).