11. Уравнение плоской и сферической бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат и времени t:

(11.63)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что  описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние л, колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции  в плоской волне, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение  будет зависеть только от х и t: = (х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 11.13), имеют вид .

Рис.11 13

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 этой плоскости, волне требуется время  = x/х (х – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на  от колебаний частиц в плоскости х = 0, т.е. будут иметь вид .

Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

] (11.64)

Величина А представляет собой амплитуду волны.

Из (11.64) следует, что является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (11.64) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то .

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

_, (11.65)

где A= const – амплитуда волны, – циклическая частота волны, – начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, – фаза плоской волны.

Для характеристики волн используется волновое число

(11.66)

Учитывая его, уравнению (11.65) можно придать вид

(11.67)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (11.67) только знаком члена kx.

Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т.е.

(11.68)

Продифференцировав последнее выражение и сократив на , получим , откуда

. (11.69)

Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (11.65) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.

При выводе формулы (11.67) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: , где – амплитуда в точках плоскости х = 0. Соответственно, уравнение плоской волны имеет следующий вид:

(11.70)

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна t . Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой  (t – r/х) = t – kr (чтобы пройти путь r, волне требуется время ф = r/х). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной – она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

, (11.71)

где А – постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность А равна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (11.71) нужно добавить множитель e^–гr.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (11.71) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.

Из выражения (11.66) вытекает, что фазовая скорость

(11.72)

Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных

, (11.73)

где v – фазовая скорость, – оператор Лапласа.

Решением уравнения (11.73) является уравнение любой волны, в частности, плоской (см. (11.65)) и сферической (см. (11.71)) волн. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид.