Лекция №5. Динамика системы материальных точек
1. Центр масс системы материальных точек
На практике не каждое тело может быть представлено как материальная точка. Однако всегда можно ее разделить на достаточно малые части, каждую из которых можно считать материальной точкой.
Ещё чаще приходится иметь дело не с одним-двумя телами, а с системой тел, взаимодействующих между собой. Изучение движения такой системы – весьма сложная задача, так как в общем случае для описания движения системы нужно знать движение всех её частей. Такое изучение облегчается тем, что у самых различных систем имеются общие свойства. В частности, таким общим свойством является то, что в любой системе можно выделить особую по отношению ко всем другим точкам системы точку, которая называется центром масс системы.
Рассмотрим
две материальные точки А и В с массами
и
,
расположенные в плоскости хОу.
|
Рис. 5.1 |
Центром
масс двух материальных точек А и В с
массами
|
и
соответственно называется точка С,
лежащая на отрезке, соединяющем А и
В, на расстояниях
и
от А и В, (рис.5.1) обратно пропорциональных
массам точек,
т.е.
(5.1)
При этом центр масс необязательно совпадает с какой-либо материальной точкой системы.
Если
положения точек А и В задаются
радиусами-векторами
и
,
то положение центра масс определяется
радиусом-вектором
.
Соединим массы
и
с центром масс точек
отрезками
и
, направленными
от точек А и В к центру
масс, как
показано на рисунке. Тогда
и
(5.2)
Умножим
первое уравнение на
,
а второе на
:
и
и
сложим их:
(5.3)
Но
с учетом определения (5.1) и направлений
векторов
и
имеем, что
.
Тогда из
(5.3) получим соотношение:
(5.4)
или
(5.5)
Формулы
(5.4) и (5.5) могут быть обобщены на любое
количество материальных точек. При этом
радиус-вектор центра масс
системы, состоящей из n
материальных точек, определяется
формулой
(5.6)
Здесь
– масса точки с номером i,
– её радиус-вектор, а
– полная масса системы точек.
Из формулы (5.6) следуют формулы для вычисления координат центра масс через координаты и массы точек системы:
,
,
(5.7)
Скорость центра масс системы материальных точек также выражается через массы и скорости отдельных материальных точек системы. Действительно, в силу определения скорости запишем выражение для скорости центра масс в виде:
(5.8)
или
(5.9)
Так же
может быть найдено и выражение для
ускорения центра масс системы:
,
т.е.
(5.10)
Величины
представляют
собой импульсы отдельных точек, поэтому
уравнение (5.9) можно переписать в виде:
,
(5.11)
где
– импульс системы материальных точек.
Таким образом, импульс системы
материальных точек равен произведению
массы системы на скорость её центра
масс.
Дифференцируя (5.11), находим уравнение движения системы материальных точек в следующем виде:
(5.12)
Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы.