Лекция №7. Механика твердого тела
1. Понятие об абсолютно твердом теле
Под абсолютно твердым телом в механике понимают тело, расстояния между любыми двумя материальными точками которого неизменны. Иначе говоря, форма и размеры его не изменяются, каковы бы ни были действующие на это тело силы. Здесь, как и вообще в классической механике, под материальными точками понимают не атомы или молекулы, а достаточно малые макроскопические части, на которые мысленно можно разделить рассматриваемую механическую систему. Естественно, такое представление об абсолютно твердом теле является абстракцией, применимой к тем случаям движения реальных тел, когда изменение формы и размеров этих тел под действием сил пренебрежимо мало. Допустима или нет такая, как и всякая другая идеализация – это определяется не только свойствами реальных тел, но и содержанием тех вопросов, на которые надо получить ответ. В дальнейшем для краткости вместо «абсолютно твердого тела» мы будем говорить только «твердое тело».
2. Твердое тело как система материальных точек
Разбив
тело на элементарные массы
можно представить его как систему
материальных точек, взаимное расположение
которых остается неизменным. Любая из
этих элементарных масс может находиться
под воздействием как внутренних сил,
обусловленных её взаимодействием с
другими элементарными массами
рассматриваемого тела, так и внешних
сил. Например, если тело находится в
поле сил земного тяготения, на каждую
массу тела
будет действовать внешняя сила равная
.
Однако сумма всех внутренних сил,
действующих в системе, равна нулю.
Ранее было показано, что система материальных точек может характеризоваться центром масс системы, координаты которого определяются радиусом-вектором
(7.1)
Здесь
– масса точки с номером i,
– радиус-вектор, определяющий положение
этой массы, а
– полная масса системы точек.
Выражение
(7.1) не является вполне однозначным,
поскольку каждый из векторов
можно проводить в любую из точек
-й
элементарной массы. Чтобы устранить
эту неопределенность, нужно взять предел
выражения (7.1) при условии, что все из
стремятся
к нулю:
Таким
образом, 
,
(7.2)
где интегрирование производится по всему телу.
Выражение
(7.2) зависит от распределения массы по
объему тела. Это распределение
характеризуется плотностью вещества
.
Для неоднородного тела плотность в
точке Р определяется выражением
,
(7.3)
где
– масса, заключенная в объеме
,
который включает в себя и точку Р.
В формуле (7.3) уменьшение
до нуля не означает превращение его в
точку. Под
подразумевается физически бесконечно
малый объем, т.е. такой объем, который,
с одной стороны, достаточно мал для
того, чтобы макроскопические свойства
(т.е. присущие большой совокупности
атомов) вещества можно было считать в
его пределах одинаковыми, а с другой
стороны, достаточно велик, чтобы не
могла проявиться дискретность
(прерывистость) вещества.
Учитывая (7.3), формула (7.2) принимает вид
,
(7.4)
где интегрирование осуществляется по всему объему тела.
Если тело однородно, плотность во всех точках тела одинакова и ее можно вынести за знак интеграла в (7.4). Тогда
(7.5)
Таким
образом, в случае однородного тела
радиус-вектор центра масс представляет
собой значение радиус-вектора
,
усредненное по всем точкам тела.
Итак, твердое тело эквивалентно системе материальных точек. Поэтому для него справедливо уравнение
,
(7.6)
где
– результирующая всех внешних сил,
действующих на твердое тело.
Таким образом, центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к нему сил.
Уравнение (7.6) дает возможность установить движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы.