3. Движение тел с переменной массой. Реактивное движение

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты заключается в следующем. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с огромной силой. Выбрасываемое вещество той же силой, но противоположно направленной, в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени.

Пусть – масса ракеты в произвольный момент времени , а – ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет . Спустя время масса и скорость ракеты получат приращения. Заметим, что величина отрицательна. Количество движения ракеты станет равным .

Обозначим через массу газов, образовавшихся за время , а через – их скорость. Тогда количество движения газов, образовавшихся за время равно . Из современной формулировки второго закона Ньютона имеем, что

,

где – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

Таким образом,

(5.19)

Раскрывая скобки и учитывая, что и – малые величины за время , можно отбросить произведение как бесконечно малую высшего порядка. Обозначим через скорость истечения газов относительно ракеты, которую называют скоростью газовой струи ракеты. Кроме того, из закона сохранения массы следует, что

.

С учетом этих замечаний выражение (5.19) преобразуется к виду

. (5.20)

Разделим это выражение на и из (5.20) получим

(5.21)

По форме уравнение (5.21) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. Кроме того, в правой части выражение имеет смысл дополнительной внешней силы. Она называется реактивной силой и имеет значение силы, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (5.21) впервые было получено русским механиком И.В.Мещерским и называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.

Применим уравнение (5.21) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая , получим

(5.22)

Предположим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи . За положительное направление примем направление полета. Тогда в скалярной форме уравнение (5.22) примет вид

.

Следовательно,

(5.23)

Скорость газовой струи может меняться во время полета. Однако для простоты мы примем, что она постоянна. В этом случае

Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна . Тогда предыдущее уравнение дает

откуда

Следовательно,

(5.24)

или (5.25)

Формула (5.25) называется формулой Циолковского.

Формула Циолковского позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для сообщения ракете определенной скорости. Она показывает, что:

• чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть ее стартовая скорость;

• чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнение Мещерского и формула Циолковского получены для нерелятивистских движений, т.е. для случаев, когда скорости и малы по сравнению со скоростью света.