17. Условия равновесия твердого тела. Виды равновесия

Как было указано в предыдущем разделе, твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы. Для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений. Вместо них можно взять два независимых векторных уравнения. Таковыми являются уравнение движения центра масс

(7.38)

и уравнение моментов

(7.39)

Если твердое тело покоится, то уравнения (7.38) и (7.39) переходят в уравнения

(7.40)

(7.41)

В этих формулах – результирующая внешних сил, – сумма моментов этих сил относительно оси вращения. Таким образом, равновесие имеет место в том случае, когда результирующая внешних сил и сумма моментов относительно оси вращения равны нулю.

Это – необходимые условия равновесия твердого тела. Но они не являются достаточными. При их выполнении центр масс может еще двигаться прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью, а само тело может вращаться с сохранением вращательного импульса. Так как при равновесии равна нулю, то момент этих сил в состоянии равновесия не зависит от положения неподвижного начала О, относительно которого он берется. Поэтому при решении любой задачи на равновесие твердого тела начало О можно выбирать произвольно.

Различают устойчивое и неустойчивое равновесия. Как показывает связь силы с потенциальной энергией, при равенстве нулю результирующих внешних сил в состоянии равновесия все производные потенциальной энергии по координатам должны обращаться в нуль. Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы потенциальная энергия была стационарна. Стационарность означает, что при всяком выводе системы из состояния равновесия, когда координаты материальных точек получают бесконечно малые приращения, функция потенциальной энергии остается почти постоянной. Точнее, приращения потенциальной функции при таких приращениях координат являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем приращения самих координат. В частности, система будет находиться в равновесии, если потенциальная энергия экстремальна, т.е. минимальна или максимальна.

Если потенциальная энергия минимальна, то равновесие будет устойчивым. Диссипативные силы делают равновесие еще более устойчивым. Если потенциальная энергия максимальна, равновесие тела неустойчиво.

Эти выводы остаются справедливыми и для систем, свобода перемещения которых ограничена наложенными связями. Надо только потребовать, чтобы связи были идеальными, т.е. такими, которые не производят работы при любых возможных перемещениях системы. Примером может служить идеально гладкий шарик, надетый на идеально твердую и гладкую спицу, которая задает направление возможного перемещения шарика. Сила, действующая на шарик со стороны спицы, перпендикулярна направлению возможного перемещения и работы не производит.

18. Центр тяжести

На каждую точку частицы твердого тела действует сила тяготения Земли. Все силы тяготения параллельны друг другу, если размеры тела невелики относительно радиуса Земли, и имеют равнодействующую. Оказывается, как бы ни повернули твердое тело, эта равнодействующая будет проходить через одну точку, неизменно связанную с телом. Эта точка называется центром тяжести тела.

Если укрепить тело в точке центра тяжести, то оно будет находиться в равновесии при любом положении тела. Следовательно, сумма моментов сил тяжести всех частиц тела относительно любой горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести, равна нулю. Подвешенное так тело после поворота вокруг любой оси, проходящей через центр тяжести, будет оставаться в равновесии, так как равнодействующая сил тяжести проходит через точку закрепления.

Центр масс твердого тела совпадает с его центром тяжести. Поэтому вместо терминов “центр масс” и “центр инерции” употребляют также термин “центр тяжести”. Следовательно, координаты центра тяжести можно найти по формуле, справедливой для радиуса-вектора центра масс, о которой мы говорили в разделе “Центр масс системы материальных точек”. Положение центра тяжести можно вычислить также по формулам (7.40) и (7.41).

Центр тяжести можно определить и экспериментально.