3. Поступательное движение твердого тела

Простейший случай движения твердого тела – поступательное движение, т.е. такое движение, при котором все точки твердого тела движутся по подобным траекториям или любая прямая, связанная с телом, остается при его движении параллельной самой себе (рис. 7.1).

Рис.7.1

Обозначим цифрами 1 и 2 две произвольные точки тела, характеризуемые радиусами-векторами и . Пусть – вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 (рис.7.2). Расстояние между рассматриваемыми точками неизменно, поэтому . Оно связано с радиусами-векторами точек соотношением . Продифференцировав по времени, получим, что , т.е. .

Аналогично имеем .

Рис.7.2

Таким образом, все точки тела получают за один тот же промежуток времени равные по модулю и направлению перемещения, вследствие чего скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени оказываются одинаковыми. Отсюда следует, что при поступательном движении траектории всех точек идентичны и могут быть совмещены параллельным переносом. Поэтому достаточно определить движение одной из точек тела (например, его центра масс) для того, чтобы охарактеризовать полностью движение всего тела.

Следует также отметить, что в случае поступательного движения уравнение (7.6) будет определять ускорение не только центра масс, но и любой другой точки тела.

4. Вращательное движение твердого тела

При вращательном движении все точки тела движутся по подобным траекториям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения (рис.7.3). Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

O

φ Q

P

O

Рис.7.3.

Положение вращающегося тела может быть определено двугранным углом , между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения. Одна плоскость неподвижна относительно системы координат, другая связана с телом и вращается вместе с ним. Знак определяют по правилу правого винта.

Закон вращения твердого тела определяется уравнением:

(7.7)

Следуя кинематике движения точки по окружности, рассмотренной в предыдущих разделах, вращательное движение твердого тела можно характеризовать угловой скоростью, т.е. скоростью изменения угла поворота:

(7.8)

Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но также и ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения, вводят векторную величину , модуль которой определяется формулой (7.8). Направлен вектор вдоль оси вращения, причем так, что направление вращения и направление образуют правовинтовую систему: если смотреть вслед вектору , вращение представляется происходящим по часовой стрелке. (Рис.7.4). Определенная таким образом векторная величина называется угловой скоростью тела.

ω

d^φ

R

R

Рис.7.4.

Поскольку направление угловой скорости определяется условно, является псевдовектором.

Быстрота изменения угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением, т.е.:

(7 .9)

Как и угловая скорость, угловое ускорение является псевдовектором.

Как видно из формулы (7.9), направление определяется направлением изменения угловой скорости . Если угловая скорость растет со временем, т.е. вращение ускоренное, направления и совпадают, если же вращение замедленное, направления и противоположные (рис. 7.5).

ω₂

ω₁

Рис. 7.5. а)

ω₁

ω₂

β

Рис. 7.5. б)

Найдем связь векторов между и с величинами и . Возьмем какую-либо произвольную точку этого тела, отстоящую от оси вращения на расстоянии R. Ранее было показано, что линейная и угловая скорости точки связаны соотношением

(7.10)

Будем определять положение точек тела с помощью радиус-вектора , проведенного из точки, лежащей на оси вращения. На рис.7.6 видно, что . Постановка этого значения в (7.6) дает .

Это равенство и показанные на рис. 7.6 взаимные направления векторов , и дают основания представить в виде векторного произведения на :

(7.11)

Рис.7.6

Связи модулей нормального и тангенциального ускорений с угловым ускорением и угловой скоростью имеют вид

(7.12)

Заметим, что последняя формула в (7.12) справедлива для случая, когда ось вращения, а, следовательно, и вектор , не изменяет направления в пространстве.