7. Момент пары сил

Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил (рис.7.9). Расстояние между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент сил относительно точки О равен

(7.16)

Рис. 7.9.

Учитывая, что , можно написать

_, (7.17)

где (рис. 7.9).

Полученное выражение не зависит от положения точки О. Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет одним и тем же. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, а его модуль равен произведению модуля любой из сил на плечо. Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом, равным нулю. Поэтому их суммарный момент относительно любой точки равен нулю. Отсюда следует, что моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю

(7.18)

Соответственно, равен нулю и суммарный момент относительно любой оси z:

(7.19)

8. Второй закон Ньютона для вращающегося твердого тела

Установим связь между угловым ускорением твердого тела и моментами сил, действующих на него, при вращении этого тела вокруг неподвижной оси. Для этого разобьем тело на элементы, каждый из которых можно принять за материальную точку. Пусть число этих элементов N. Все элементы движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, по окружностям, центры которых лежат на этой оси и имеют одинаковые ускорения.

Рассмотрим элемент с номером i , масса которого , а радиус окружности, по которой он движется . На этот элемент со стороны других элементов этого же тела действуют внутренние силы Кроме того, он подвергается действию внешних сил, равнодействующая которых . Для этого элемента справедлив второй закон Ньютона:

(7.20)

Возьмем проекцию этого уравнения на направление касательной к окружности, по которой движется элемент

(7.21)

Умножим обе части уравнения (7.21) на и, принимая во внимание, что тангенциальное ускорение элемента представляется в виде , получим

(7.22)

Каждый член в правой части этого уравнения есть момент соответствующей силы относительно оси вращения z. Так, последний член – момент равнодействующей внешних сил, действующих на элемент тела, а остальные члены – – моменты внутренних сил. Величина , входящая в левую часть уравнения (7.22), называется моментом инерции этого элемента относительно оси вращения z.

С учетом введенных обозначений уравнение (7.22) можно переписать в виде: _.

Аналогичные уравнения можно написать для каждого элемента тела, а затем их сложить. Тогда получим:

, (7.23)

где в левой части имеем сумму моментов инерции всех элементов тела относительно оси вращения: .

Он характеризует распределение массы тела относительно оси вращения.

В правой части первое выражение характеризует сумму моментов всех внутренних сил, действующих на все элементы тела, а последнее выражение есть сумма всех действующих на тело внешних сил .

Так как при сложении моментов внутренних сил в уравнении (7.23) все они попарно уничтожаются, уравнение (7.23) принимает вид

(7.24)

Уравнение (7.24) есть выражение основного закона вращательного движения: Момент вращающей силы, приложенной к телу, равен произведению момента инерции тела на его угловое ускорение.