Лекция №10. Движение в неинерциальных системах отсчета
1. Неинерциальные системы отсчета
Системы
отсчета, движущиеся относительно
инерциальной системы с ускорением,
называются неинерциальными. В
неинерциальных системах законы Ньютона
несправедливы. Эту несправедливость
можно обнаружить на примере тела,
покоящегося в некоторой инерциальной
системе. В этом случае тело не испытывает
действия сил
.
Однако в неинерциальной системе,
движущейся по отношению к инерциальным
системам с ускорением, тело будет иметь
ускорение а, отличное от нуля. Поскольку
,
равенство
не соблюдается.
Рассмотрим две системы отсчета (рис.10.1), из которых система К является инерциальной, а система К' движется относительно К с некоторым ускорением и, следовательно, неинерциальна.
|
|
Рис.10.1. |
Движение
частицы относительно системы К
характеризуется радиус-вектором
,
а относительно системы К' – радиус-вектором
,
а вектор
определяет положение начала координат
системы К' относительно системы К.
Эти
радиус-векторы связаны соотношением
Дифференцировав это соотношение дважды по времени, получим равенство
(10.1)
Первая
производная в (10.1) дает ускорение частицы
а в системе К, вторая – ускорение
начала
О' системы К' относительно системы К.
С
производной
дело
обстоит сложнее: если система К' в
дополнение к поступательному движению
еще и вращается с угловой скоростью
,
то эта производная, кроме ускорения а'
частицы в системе К', содержит слагаемые,
в которые входят множителями либо
,
либо
.
Это обусловлено тем, что
в (10.1) представляет собой производную,
вычисленную наблюдателем, находящимся
в системе К. А а' есть вторая производная
,
вычисленная наблюдателем, который
вращается вместе с системой К'. Вектор
ведет себя в обеих системах по-разному.
В
случае, когда система К' движется
относительно К поступательно (т.е.
),
= а' и соотношение (10.1) можно представить
в виде
(10.2)
2. Силы инерции
-121
Умножим
равенство (10.2) на массу частицы m:
.
Здесь
произведение
есть сила
,
с которой действуют на частицу другие
тела согласно второму закону Ньютона.
В результате получим уравнение
(10.2)
Отсюда
видно, что относительно системы К'
частица ведет себя так, как если бы кроме
«реальной» силы F
на нее действовала дополнительная
«фиктивная» сила
.
Эта сила называется силой
инерции.
Обозначим ее как
.
Фиктивность силы инерции надо понимать
в том смысле, что не существует тел,
воздействием которых была бы обусловлена
эта сила. У нее нет «партнера», т.е. второй
силы, предписываемой третьим законом
Ньютона. Сила инерции обусловлена
свойствами (неинерциальностью) той
системы отсчета, в которой рассматриваются
механические явления.
Напишем уравнение (10.2) следующим образом:
(10.3)
Это уравнение справедливо в неинерциальной системе отсчета. По форме оно аналогично уравнению второго закона Ньютона. Следовательно, введение сил инерции позволяет описывать движение тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения. В этом заключается смысл введения сил инерции.
Каждый, кто пользуется городским транспортом, испытывал на себе действие сил инерции. Так, при резком торможении автобуса или трамвая пассажиры испытывают силу, толкающую их вперед; стоящие вблизи стекла, ограждающего кабину водителя, могут при этом под действием «фиктивной» силы инерции набить себе вполне реальную шишку.
Введение сил инерции не является совершенно необходимым. Любое движение можно рассмотреть по отношению к инерциальной (например, гелиоцентрической) системе отсчета. Однако на практике часто представляет интерес именно движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета (например, по отношению к Земле). Использование сил инерции позволяет решить соответствующую задачу непосредственно в такой системе отсчета, что часто бывает намного проще, чем решение в инерциальной системе.
Характерной
особенностью сил инерции является их
пропорциональность массе тела. В этом
отношении силы инерции сходны с
гравитационными силами. Представим
себе, что мы находимся в закрытой кабине,
а кабина движется вверх относительно
инерциальных систем с постоянным
ускорением
в направлении. Тогда всякое тело внутри
кабины будет вести себя так, как если
бы на него действовала сила инерции
.
В частности, пружина, к концу которой
подвешено тело массой m,
растянется так, чтобы упругая сила
уравновесила силу инерции. Однако такие
же явления наблюдались бы и в том случае,
если бы кабина была неподвижной, а под
ней находилась Земля. Не имея возможности
«выглянуть» из кабины, никакими опытами,
проводимыми внутри кабины, мы не могли
бы определить, чем обусловлена сила
– ускоренным движением кабины или
действием гравитационного поля Земли.
Основываясь на это утверждение, говорят
об эквивалентности сил инерции и сил
тяготения. Эта эквивалентность Эйнштейном
была положена в основу общей теории
относительности.