§ 81. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Е

Рис. 81.1

стественно связать с движением микрочастицы, например, вдоль оси x, не непрерывную бесконечную волну, а цуг волн, имеющий ограниченную протяженность Δx в пространстве (рис. 81.1). В теории волн доказывается, что такой цуг должен представлять пакет монохроматических волн с частотами в интервале от ω до ω + Δω (или с волновыми числами от k до k+ Δk), причем

(81.1)

Это соотношение справедливо для любых волновых процессов.

Для волны де Бройля — микрочастицы, движущейся вдоль оси x с импульсом p

откуда

(81.2)

Подставляя формулу (81.2) в неравенство (81.1), получаем

(81.3)

В неравенстве (81.3) Δx — интервал координат, в котором локализована движущаяся микрочастица, описываемая волной де Бройля; Δp — интервал, в котором заключен импульс микрочастицы. Формулу (81.3) называют соотношением неопределенностей Гейзенберга. Оно показывает, что координата x микрочастицы и ее импульс p не имеют одновременно значений, равных x и p. Их значения определены лишь с некоторой степенью точности. Другими словами, классические понятия координаты и импульса применимы к микрочастицам лишь в пределах, устанавливаемых соотношением Гейзенберга (81.3).

Возникает вопрос, почему в классической физике соотношение (81.3) не играет никакой роли и движущаяся макрочастица имеет определенные значения координаты и скорости? В качестве примера рассмотрим пылинку массой 10^–13 кг и размером 1 мкм = 10^–6 м, координата которой определена с точностью до 0,01 ее размера, т. е. . Согласно формуле (81.3),

откуда

Легко сообразить, что эта неопределенность скорости практически не сказывается при всех скоростях, с которыми движется такая макрочастица. Поэтому, в отличие от квантовой механики, в классической механике применимы понятия координаты и скорости.

Пример 81.1. Определить относительную неопределенность импульса движущейся частицы, если неопределенность ее координаты равна длине волны де Бройля.

Дано:	Решение
– ?

Ответ:

Пример 81.2. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером l = 0,2 нм.

Дано: l = 0,2 нм	Решение
Emin– ?

Ответ:

§ 82. Уравнение Шредингера

Волновая функция

является решением дифференциального уравнения. Получим его. Пусть микрочастица движется в потенциальном поле и ее волновая функция не зависит от времени. Можем написать

откуда не зависит от времени. Продифференцируем ψ дважды по x.

откуда

Свяжем E и p:

откуда

или

(82.1)

Механическая энергия микрочастицы

где — кинетическая энергия микрочастицы; U — потенциальная энергия микрочастицы. В уравнении (82.1) E = . В случае потенциального поля . Тогда имеем

(82.2)

Уравнение (82.2) называют стационарным уравнением Шредингера для микрочастицы, движущейся в потенциальном поле вдоль оси x.

Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики. Оно не выводится из других уравнений, а является исходным основным предположением (постулатом), справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытом.