§ 8. Импульс. Закон сохранения импульса

Назовем импульсом частицы векторную величину , равную произведению массы частицы на ее скорость:

(8.1)

Из соотношения (8.1) видно, что направление импульса совпадает с направлением скорости.

С учетом основного уравнения динамики частицы

можем написать

(8.2)

производная по времени от импульса частицы равна действующей на нее силе.

Рассмотрим систему, состоящую из определенного числа частиц. Назовем внешними частицами все частицы, не входящие в рассматриваемую систему частиц. Соответственно назовем внешними силами силы, действующие на частицы системы со стороны внешних частиц, а внутренними силами — силы взаимодействия между частицами системы.

Опыт показывает (третий закон механики Ньютона), что каждая пара частиц системы взаимодействует с равными по модулю силами, направленными в противоположные стороны, откуда следует, что результирующая сила, действующая на эти частицы, равна нулю. Обобщая на всю систему частиц, можно сказать, что сумма всех внутренних сил в системе равна нулю. Следовательно, если в выражениях (8.2) — суммарный импульс всех частиц системы, то — результирующая внешних сил, действующих на систему.

Назовем систему частиц замкнутой, если на нее не действуют внешние силы или результирующая внешних сил равна нулю. Для такой системы имеем

или

(8.3)

импульс замкнутой системы частиц остается постоянным (закон сохранения импульса).

Пример 8.1. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса человека масса тележки Найти, на какое расстояние передвинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски. Длина доски Массой колес и трением пренебречь.

Дано:	Решение

где — модуль скорости тележки; — время движения человека по доске.

(по закону сохранения импульса),

(по закону сложения скоростей),

где и — скорости человека и тележки относительно пола; — скорость человека относительно тележки (рис. 8.1).

Рис. 8.1

Ответ: S = 1,5 м.

§ 9. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса

Пусть частица с массой движется по траектории. В момент времени ее импульс а положение в пространстве определяет радиус-вектор , проведенный из точки , являющейся началом координат (рис. 9.1).

Назовем моментом импульса частицы относительно точки вектор , равный векторному произведению векторов и :

Рис. 9.1

(9.1)

Направления векторов и связаны правилом правого винта, если направить указательный палец правой руки по вектору , а средний — по вектору , то отогнутый большой палец покажет направление вектора (рис. 9.1). Модуль момента импульса

(9.2)

где и — модули векторов и — угол между векторами и .

Назовем прямую, вдоль которой направлен импульс, линией действия импульса, а расстояние от линии действия импульса до точки — плечом импульса относительно точки . Как видно из рис. 9.1,

откуда

(9.3)

Проекции вектора на координатные оси называют моментами импульса частицы относительно этих осей. Например, — момент импульса частицы относительно оси .

Продифференцируем выражение (9.1) по времени:

так как (вектор совпадает по направлению с вектором ).

Таким образом,

(9.4)

производная по времени от момента импульса частицы равна действующему на нее моменту силы.

Рассмотрим систему, состоящую из определенного числа частиц. Согласно третьему закону механики Ньютона, внутренние силы, действующие на каждую пару взаимодействующих частиц системы, одинаковы по модулю, противоположны по направлению и лежат на одной прямой, т. е. имеют одинаковое плечо. Поэтому моменты сил, действующих на каждую пару частиц системы, равны по модулю и противоположны по направлению, т. е. уравновешивают друг друга. Обобщая на всю систему частиц, можно сказать, что суммарный момент всех внутренних сил равен нулю. Следовательно, если в выражении (9.4) — суммарный момент импульсов всех частиц системы, то — суммарный момент всех внешних сил.

Для замкнутой системы частиц имеем

или

(9.5)

момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным (закон сохранения момента импульса).

Закон сохранения момента импульса выполняется и для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Расчет дает, что момент импульса твердого тела относительно оси вращения

(9.6)

Пример 9.1. Человек массой m_ч стоит на краю горизонтального диска массой m_д, который может свободно вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси , проходящей через его центр. В некоторый момент времени человек начал двигаться по краю диска и совершил перемещение на угол , после того остановился. Считая человека частицей, найти угол , на который повернулся диск при перемещении человека.

Дано: mч mд	Решение где ωд — модуль угловой скорости диска; — время перемещения человека.
– ?

В проекциях на ось вращения можем написать

где — угловая скорость человека относительно диска.

где — радиус диска.

Ответ: