Глава 11. Энергия электрического поля § 40. Электроемкость

Рассмотрим металлический шар, окруженный средой с диэлектрической проницаемостью ε.

Металлический шар представляет собой проводник, в котором могут свободно перемещаться заряженные частицы — электроны. Если шару сообщить заряд q (добавить или убрать некоторое количество электронов), то электроны в шаре распределятся так, чтобы соблюдалось условие равновесия, а именно, чтобы напряженность электрического поля внутри шара равнялась нулю. Это условие будет выполняться при равномерном распределении заряда q по поверхности шара (см. пример 33.2). Следовательно, металлический заряженный шар эквивалентен равномерно заряженной сфере. Потенциал φ внутри металлического шара везде одинаков и равен потенциалу на поверхности шара (см. пример 39.1):

(40.1)

где R — радиус шара.

Перепишем соотношение (40.1) в виде

(40.2)

где

(40.3)

— коэффициент пропорциональности между зарядом и потенциалом шара — называют электрической емкостью (или просто электроемкостью) металлического шара.

Из выражения (40.3) видно, что электроемкость шара зависит от размеров шара (радиус R) и диэлектрических свойств окружающей среды (диэлектрической проницаемости ε). Очевидно, для проводника другой формы (например, для металлического цилиндра) коэффициент пропорциональности в соотношении (40.2) будет иметь другой вид, чем (40.3).

Обобщая, можно сказать, что электроемкость проводника

(40.4)

заряду, который нужно сообщить проводнику, чтобы увеличить его потенциал на 1 В. Электроемкость зависит от формы и размеров проводника, а также от диэлектрических свойств окружающей среды. Единицей измерения электроемкости является фарад (Ф)

Если к заряженному проводнику, например, с q > 0, поднести незаряженный проводник, то на незаряженном проводнике произойдет перераспределение зарядов — в данном случае отрицательные заряды сместятся относительно положительных в сторону заряженного проводника. Вследствие этого потенциал заряженного проводника уменьшится, что приведет к увеличению его электроемкости (см. формулу (40.4)). Значительное увеличение электроемкости произойдет, если к положительно заряженному проводнику поднести отрицательно заряженный проводник. Систему из двух проводников (обкладок), имеющих противоположные по знаку, но равные по величине заряды, называют конденсатором. Форма и взаимное расположение обкладок конденсатора таковы, что электрическое поле, создаваемое конденсатором, практически полностью сосредоточено между его обкладками. Электроемкость конденсатора

(40.5)

где q — заряд положительно заряженной обкладки; — разность потенциалов между обкладками. Электроемкость конденсатора зависит от формы и размеров обкладок, от расстояния между ними, а также от диэлектрических свойств среды, заполняющей конденсатор. Электроемкость является основной характеристикой конденсатора.

§ 41. Электроемкость плоского конденсатора

Найдем электроемкость плоского конденсатора. Плоский конденсатор состоит из двух параллельных металлических пластин (обкладок) площадью S каждая, расположенных на близком расстоянии d одна от другой. Заряды пластин +q и – q. Пространство между пластинами заполнено средой с диэлектрической проницаемостью ε (рис. 41.1).

Рис. 41.1

Для нахождения разности потенциалов Δφ между пластинами конденсатора воспользуемся соотношением (36.7). Получим выражение для напряженности E электрического поля в конденсаторе. Возьмем любую точку между пластинами конденсатора. Вследствие симметрии (заряд каждой пластины равномерно распределяется по поверхности пластины (см. пример 33.1)) вектор поля, создаваемого левой пластиной, в этой точке направлен по оси x. Определим модуль (длину) этого вектора. Проведем через интересующую нас точку гауссову замкнутую поверхность S в виде симметричного относительно левой пластины цилиндра так, чтобы точка находилась на основании цилиндра (рис. 41.1). Найдем поток вектора сквозь гауссову поверхность:

(41.1)

где S_осн — площадь основания цилиндра. При интегрировании мы учли, что поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю (линии вектора не пронизывают эту поверхность) и для всех точек основания цилиндра α = 0 и D₁ = const.